מי מנצח בווינר?
ראשון, 20 באפריל 2008הפוסט הנוכחי עוסק במשחק ווינר של המועצה להסדר ההימורים בספורט: תחילה, אעזר במדגם עצום של טפסי ווינר כדי לתאר תופעה מסויימת שקשורה לעמלות של ווינר ליין. אח"כ, אנסה לשכנע שמדובר בתופעה מוזרה מאוד, הסותרת עקרונות כלכליים ופסיכולוגיים בתחום ההימורים. לבסוף, אציע הסבר אפשרי (ולא מספק, לדעתי) לתופעה שמצאתי.
הערת אזהרה: הפוסט הפעם יחסית קשה לקריאה. משיקולי זמן ומקום, אני אניח שלקורא יש הכרות מסויימת עם ווינר ועם עקרונות בסיסיים בהסתברות (למשל ההבדל בין תוחלת לממוצע).
ווינר הוא התשובה החוקית של המועצה להסדר ההימורים בספורט לאתרי ההימורים באינטרנט. למרות שמדובר במשחק חדש יחסית (החל לפעול רק בשנת 2002), הוא מהווה היום את מקור ההכנסה העיקרי של המועצה. למעשה, מדובר בשני משחקים שונים: ווינר ליין וווינר מאצ' - אני אתמקד בראשון.
חוקי ווינר ליין פשוטים למדי: בטופס ווינר ליין רגיל מהמרים על תוצאות 3-6 משחקים. עבור כל משחק יש לבחור 1, 2 או X (ז"א נצחון של הקבוצה הראשונה, נצחון של הקבוצה השניה או תיקו) כשהמטרה היא לצדוק בכולם. בניגוד לטוטו, ווינר הוא מה שמכונה בעגה מקצועית הימור parlay: לכל אחת משלוש התוצאות האפשריות של כל משחק מתלווה יחס שנקבע מראש. אם הצלחת לנחש נכון את תוצאות כל המשחקים שסימנת, תזכה בסכום כסף ששווה למכפלת היחסים המופיעים בטופס. לדוגמא: אם הימרת במשחק הראשון על 1 ביחס של 1:1.5, במשחק השני על X ביחס של 1:1.05 ובמשחק השלישי על 1 ביחס של 1:5, במידה ותזכה תקבל פי 1.5*1.05*5 = 7.875 מהסכום שהשקעת.
בניגוד לאתרי הימורים באינטרנט בהם יחסי ההימורים דינאמיים ומשתנים כל הזמן (עוד על כך, בהמשך), בווינר יחסי ההימורים נקבעים מראש ע"י מחלקה של קובעי יחסי הימורים (odds compilers) של המועצה להסדר ההימורים בספורט, שלכאורה מורכבת מ"מומחים למתמטיקה או סטטיסטיקה או הסתברות … שמבינים בכדורגל ברמה של מידת הנעליים של כל שחקן בליגת המילואים הנורווגית".
השאלה שאנסה לענות עליה, היא עד כמה טובה קביעת יחסי ההימורים בווינר ליין.
מידע גולמי על ווינר ניתן למצוא באתר המועצה להסדר ההימורים בספורט: עבור כל משחק שנערך, הארכיון של ווינר ליין מפרט את יחס ההימור שניתן לכל אחת משלוש התוצאות האפשריות ואת התוצאה שהתקבלה בסופו של דבר. הארכיון לא נגיש בפורמט נוח לעבודה, אבל 200 שורות Java ו-15 דקות של "טחינת" האתר הספיקו כדי לייצר עבורי קובץ אקסל ענק עם כלל הנתונים ההיסטוריים של ווינר ליין.
בסה"כ התקבלו נתונים לגבי 54382 משחקים שהתקיימו בתקופה של כ-6 שנים (בין ה-22/5/2002 וה-15/4/2008), ולאחר סילוק נתונים בעייתיים (663 משחקים ללא תוצאה סופית; 86 משחקים ללא יחסי ההימור; 567 משחקים עם שתי תוצאות אפשריות בלבד) נשארו נתונים לגבי 53066 משחקים. כיוון שכל משחק כזה מגלם שלושה הימורים שונים, למעשה התקבלו נתונים לגבי 159198 הימורים שונים - כשעבור כל הימור בודד ידוע יחס ההימור בווינר, והאם בסופו של דבר ההימור זכה.
ניתוח הנתונים מתבסס על החוק החלש של המספרים הגדולים, שקובע כי "במדגמים גדולים הממוצע בדר"כ קרוב לתוחלת". לדוגמא, ווינר הציעו יחס הימור של 1:3 ב-6766 הזדמנויות שונות, ובסופו של דבר זכו 1805 מתוכן. 6766/1805 = 3.75, ולכן ניתן לומר שהימורים שווינר נותנים עליהם יחס של 1:3 זכו במדגם ביחס של 1:3.75. אינטואיטיבית, החוק החלש של המספרים הגדולים מבטיח שבאופן כללי הימורי ווינר ביחס של 1:3 (גם כאלה שיערכו בעתיד!), יזכו ביחס שקרוב ל-1:3.75.
כהערת צד, אוסיף כי כיוון שההימורים השונים בלתי תלויים זה בזה (למעט מקרים נדירים של שני הימורים ביחס זהה על תוצאות שונות של אותו משחק), ניתן להניח כי מספר הזכיות של הימורים ביחס נתון מתפלג בינומית. המשך הניתוח עוסק רק ביחסי הימורים שעבורם מס' הזכיות בפועל היה גדול מ-50, ובפרט ניתן לבצע עבורם קירוב להתפלגות נורמאלית ולהגיע להערכה מדויקת למדי של יחס הזכיה במציאות (ואכן, הוא קרוב מאוד ליחס הזכיה במדגם).
הגרף הבא מציג את תוצאות הניתוח. בציר האופקי מופיע יחס ההימור שניתן בווינר, ובציר האנכי מופיע האומדן ליחס ההימור האמיתי (ז"א שיעור הפעמים בהם הימור ביחס כזה אכן זכה):
מבט מהיר בגרף מעלה כי היחס בווינר תמיד נמוך מהיחס האמיתי. לדוגמא, הימורי ווינר ביחס 1:2 זוכים ביחס 1:2.52, ולכן (חישוב פשוט) על כל שקל שתשקיעו בהימור כזה תפסידו בתוחלת כ-20 אגורות. הממצא הזה לא מפתיע - הוא בסה"כ מבטא את העובדה שווינר מרוויחים כסף מהמהמרים (ההבדל בין יחס ההימור שווינר מציעים ליחס האמיתי הוא בדיוק העמלה שווינר לוקחים). מה שבכל זאת מפתיע הוא שהעמלה של ווינר תלויה ביחס ההימור, כפי שניתן לראות בגרף הבא:
כאמור, ההימור בווינר לא משתלם (בתוחלת), כי ווינר מרוויחים כסף על חשבון המהמרים. מה שמוזר הוא שווינר לוקחים עמלה גדולה יותר - ז"א מרוויחים יותר - ככל שיחס ההימור גדול יותר! לדוגמא, על הימורים ביחס 1:1.15 תפסידו בתוחלת כ-12 אגורות לכל שקל, על הימורים ביחס 1:4.2 תפסידו בתוחלת כ-29 אגורות לכל שקל, ועל הימורים ביחס 1:9 תפסידו בתוחלת כ-68 אגורות לכל שקל!
הנקודה האחרונה עשויה להראות בטעות כמו משהו מובן מאליו. יחס הימור נמוך (למשל 1:1.15) אומר שאתה מהמר על הפייבוריט, ויחס הימור גבוה (למשל 1:9) אומר שאתה מהמר על האנדרדוג, ולכאורה סביר שלאורך זמן תפסיד יותר אם תהמר תמיד על האנדרדוג. אך זו כמובן טעות: אמנם בהימורים על הפייבוריט סביר שתזכה יותר פעמים - אבל כשמדובר בתוחלת הרווח, לא בהכרח אמור להיות הבדל בין שני המקרים. תחשבו, למשל, על משחק שבו אתם מהמרים ביחס של 1:6 שיצא 6 בקוביה (הימור על מאורע לא סביר, "האנדרדוג"), לעומת משחק מקביל שבו אתם מהמרים ביחס של 1:1.2 שלא יצא 6 בקוביה (הימור על מאורע סביר, "הפייבוריט") - במקרה זה, התוחלת של שני המשחקים זהה (ושווה לאפס, אלה משחקים הוגנים).
מה שאני מנסה להגיד, הוא שעל פניו לווינר אין סיבה להפלות לרעה את מי שבחר להמר על האנדרדוג. מבחינת ווינר, האידיאל הוא לגבות עמלה זהה מכל מהמר, בלי קשר לדת, גזע, מין או סוג ההימור.
אז מה בעצם קורה כאן? כדי לענות על השאלה, ננסה להבין מה ווינר מנסים להשיג (ומה לא) בקביעה מסויימת של יחסי ההימורים.
נקודת הסתכלות נאיבית היא שווינר מנסים לקבוע את יחס ההימור כך שיהיה מדויק ככל האפשר (במובן של החוק החלש של המספרים הגדולים): בשלב הראשון, ווינר קובעים את יחסי ההימורים "האמיתיים" כך שלאורך זמן, שליש מההימורים שקיבלו יחס אמיתי של 1:3 יקרו בפועל. בשלב השני, ווינר משנים את יחסי ההימורים כך שישקפו עמלה קבועה על כל הימור (למשל, יחס הימור אמיתי של 1:3 יפורסם בטופס כיחס הימור של 1:1.15, לאחר הפרשת עמלה של כ-12%).
איך אפשר לקבוע את יחסי ההימורים האמיתיים? יש הרבה דרכים: אפשר להעסיק odds compilers טובים ולהסתמך על הידע שלהם כמומחים, אפשר להשתמש במודלים סטטיסטיים, אפשר להעזר ב"חוכמת ההמונים" (למשל בורסות הימורים) ואפשר לשלב בין מספר שיטות.
בכל מקרה, אם זה אכן היה המצב, הייתי אומר שווינר עושים עבודה גרועה מאוד בקביעת היחס האמיתי: חישוב פשוט מראה שהעמלה הממוצעת למשחק היא כ-19% (עם סטיית תקן מזערית של כ-0.015%), ואם "ננרמל" את יחסי ההימורים כך שלא ישקפו את העמלה (ז"א נחזור, לכאורה, ליחסי ההימורים האמיתיים תחת ההנחה שהעמלה קבועה) נגלה שהם מוטים מאוד לעומת הקו האידיאלי של Y=X (אני לא ארחיב, אבל למעשה מדובר בצורת הסתכלות שונה על הגרף האחרון).
אם שתי הפסקאות האחרונות לא היו ברורות מספיק, זה לא מאוד משנה. העובדה הפשוטה היא שווינר, ולצורך העניין גם אתרי הימורים באינטרנט, לא מנסים לקבוע את יחס ההימור כך שישקף את המציאות! הסיבה לכך היא שהשאיפה של אתרי הימורים היא לא להמר בעצמם, אלא להרוויח כסף ללא סיכון. במקום להתעמק בקשר של הדיון הנוכחי למושג השונות, אני אתן דוגמא שתבהיר את הכל:
אתר הימורים א' מציע הימור על האם מחר ירד גשם או לא (נניח שהסיכוי לגשם הוא בדיוק שליש). האתר קובע יחס אמיתי של 1:3 לאפשרות שמחר ירד גשם ויחס אמיתי של 1:1.5 לאפשרות שמחר לא ירד גשם. כדי להרוויח משהו, האתר מחליט לגבות עמלה של 10% ולכן יחסי ההימורים שהוא מפרסם הם 1:2.7 על האפשרות שירד גשם, ו-1:1.35 על האפשרות שלא ירד גשם.
לעומתו, אתר הימורים ב' בוחר בשיטה הבאה: בשלב הראשון, הוא קובע את יחסי ההימורים כך שישקפו עמלה של 10% אם אותו מספר אנשים מהמרים על כל אפשרות (ז"א יחס זהה של 1:1.9 לשתי האפשרויות). בהמשך, בכל פעם שמישהו מהמר על אחת האפשרויות, האתר מקטין מעט את היחס של האפשרות שהרגע הימרו עליה ומעלה את היחס של האפשרות השניה, כך שהעמלה הסופית תשאר 10%.
נבחן כעת מה קורה לאתרים בשני תרחישים טיפוסיים:
בתרחיש הראשון, נניח שקהל המהמרים יודע שהסיכוי לגשם מחר הוא אכן בערך שליש, ולמהמרים מסויימים יש הטיה קלה לכאן או לכאן. עבור אתר א', ההימורים יתחלקו פחות או יותר שווה בשווה בין האפשרויות, והאתר יגרוף רווח יפה של 10%. עבור אתר ב', תחילה יהיו הרבה הימורים על האפשרות שלא ירד גשם (האתר מציע יחס של 1:1.9 על הימור שלדעתך יקרה ב-1:1.5, ז"א הימור משתלם מאוד), אבל מהר מאוד יחסי ההימורים ישתנו, עד שלבסוף יזדהו עם יחסי ההימורים של האתר הראשון, וישארו כך (זוהי נקודת שיווי משקל). בסופו של דבר, גם אתר ב' יגרוף רווח של כ-10%.
בתרחיש השני, נניח שלקהל המהמרים יש הטיה, וההערכה שלהם היא שהסיכוי לגשם מחר הוא כ-80%. במקרה של האתר הראשון, יהיו הרבה יותר הימורים על האפשרות שירד גשם. במקרה של האתר השני, יחסי ההימורים ישתנו בהתאם, ולבסוף יתאזנו על יחס של 1:4.5 שלא ירד גשם, ויחס של 1:1.125 שירד גשם. אם בסופו של דבר לא ירד גשם מחר, אתר א' יגרוף עמלה אדירה. לעומת זאת, אם מחר ירד גשם, אתר א' יפסיד סכום כסף עצום (וה-odds compiler שקבע את היחס ילך לישון עם הדגים). אתר ב', לעומת זאת, יגרוף בכל מקרה עמלה של כ-10%.
אז מה קרה כאן בעצם? אתר א' ממלא תפקיד של מהמר: הוא לוקח סיכון, ומרוויח או מפסיד בהתאם לתוצאה הסופית. אתר ב' ממלא תפקיד של מתווך: הוא עוזר למהמרים להמר זה מול זה, וגובה עמלה קבועה על שירותיו. הרווח שלו גדל ככל שמהמרים יותר אנשים, ובכל מקרה הוא אינו מסתכן בהפסד. בהקשר זה, ראו גם מאמר של סטיבן לויט מפריקונומיקס [2004].
ואכן, אתרי ההימורים באינטרנט משנים באופן דינמי את יחסי ההימורים שהם מציעים, בצורה דומה מאוד לאתר ב' בדוגמא. השינויים מתבצעים אונליין, ויחסי ההימורים משתנים ממש מדקה לדקה (כמובן, יחס ההימורים המעודכן רלוונטי רק להימורים עתידיים, ולא להימורים שכבר התבצעו ביחס הקודם).
כל זה טוב ויפה, אבל במקרה של ווינר לא ניתן לשנות את יחסי ההימורים מהרגע שנקבעו, כיוון שטפסי ווינר מודפסים מראש ונשלחים לנקודות המכירה. לכן, ווינר עצמם מחוייבים להמר - הנקודה היא שכדי להקטין ככל האפשר את הסיכון שלהם להפסיד, ווינר לא צריכים להתאים את יחסי ההימורים שלהם ליחס ההימורים האמיתי, אלא ל"יחס ההימורים האמיתי הנתפס" של ציבור המהמרים, מוטה ככל שיהיה.
איזה סוגי הטיות צפויים להיות בקרב המהמרים?
הטיה אחת היא מה שמכונה Wishful Thinking: הנטיה של אנשים לבצע הערכת-יתר לסיכוי שמאורע רצוי אכן יקרה. לדוגמא, אלישע בבד ויוסי כץ הראו [1991] שאוהדים במשחק כדורגל מגזימים בהערכת סיכויי קבוצתם לנצח בהשוואה לצופים חסרי העדפה בולטת, ושהתופעה מתקיימת אפילו כאשר האוהדים ממלאים טפסי טוטו (במובן מסוים, המהמרים במקרה האחרון שילמו כדי לשמר את ההטיה). כיוון שאנשים נוטים לאהוד את הקבוצה המנצחת, Wishful Thinking תבוא לידי ביטוי, בדרך כלל, בהטיה לטובת הפייבוריט בהימור.
הטיה נוספת היא תחזית של תורת הערך של כהנמן וטברסקי. אנשים הם "שונאי סיכון" בתחום הרווח, ויעדיפו, למשל, לקבל 100 שקל ביד מאשר להשתתף בהימור שיתן להם 250 שקל בסיכוי של 50% (למרות שתוחלת הרווח גבוהה יותר במקרה השני). אני מאמין שהימורים בווינר נתפסים בדרך כלל כרווח (ז"א שרוב המהמרים בווינר עושים זאת כדי להרוויח, ולא כדי להמנע מהפסד), ולכן יעדיפו להמר על הפייבוריט ולזכות בסיכוי גבוה יותר, אפילו במחיר של הקטנת תוחלת הרווח. ואמנם, נראה שהשיקול שרוב האנשים עושים בבחירת אפשרות ההימור הוא "איזה קבוצה כנראה תנצח", ולא "עבור איזה הימור אני מקבל יחס טוב יותר לעומת היחס האמיתי שאני חושב שמתקיים" (או במילים אחרות: אני מהמר על מכבי כי אני חושב שהיא תנצח, ולא כי אני חושב שהיא תנצח ביחס של 1:5 אבל מציעים לי עליה הימור ביחס של 1:10). ובשורה התחתונה, כל האמור לעיל יגרום, שוב, להטיה לטובת הפייבוריט בהימור.
ובחזרה לעמלות של ווינר: ראינו שווינר גובים עמלה נמוכה יותר ממי שמהמר על הפייבוריט, ז"א הופכים את ההימור על הפייבוריט לאטרקטיבי יותר. אם ווינר מנסים לקלוע ליחסי ההימורים האמיתיים כפי שהם נתפסים ע"י המהמרים, המשמעות היא שווינר חושבים שלמהמרים יש הטיה טבעית להמר דוקא על האנדרדוג, וזאת בניגוד מוחלט לאמור בשתי הפסקאות האחרונות!
בהנחה שווינר לא טפשים (ז"א לא טועים לגמרי בדרך שבה הם קובעים את העמלות), ומצד שני גם לא גאונים (ז"א לא גילו הטיות קוגניטיביות שאינן מוכרות לפסיכולוגיה המודרנית), נשאלת השאלה מה ההגיון בקביעת העמלות בצורה הזו?
אני אציע הסבר אפשרי אחד, אבל האמת היא שאין לי מושג. אם למישהו יש רעיון, או מכיר מישהו שעובד בווינר ויכול לספק הסבר טוב יותר, אני אשמח מאוד לשמוע. בכל מקרה, תיאוריית הקונספירציה שלי היא כדלהלן:
כפי שראינו, העמלה הממוצעת שווינר גובים על כל הימור היא כ-19% (עד כדי סטיית תקן מזערית, שיכולה אפילו לנבוע משגיאות עיגול), ונניח שמסיבה כלשהי ווינר מחוייבים לגבות עמלה בשיעור הזה בדיוק (לדוגמא שהעמלה הזו מוגדרת בחוק להסדר ההימורים בספורט או באחד מהתיקונים שלו). הנקודה החשובה היא שמדובר בעמלה גבוהה מאוד, ובפרט עמלה גבוהה יותר משמעותית מזו שגובים המתחרים של ווינר: אתרי ההימורים באינטרנט (בדיקה אקראית של כמה אתרי הימורים גדולים מראה שהם לוקחים עמלות של פחות מ-5% על משחקי כדורגל).
עכשיו, מי שרוצה להמר על מכבי צריך להחליט אם לעשות את זה בווינר, או באתר אינטרנט כלשהו. לווינר יש יתרון אחד גדול - ההימור חוקי - ובשבילו אנשים מוכנים לשלם כסף (התשלום מתבטא בכך שהם מקבלים יחס הימור גרוע יותר מאשר באינטרנט, על אותם הימורים בדיוק). השאלה היא כמה כסף אנשים יהיו מוכנים לשלם, אבל בלי קשר לתשובה המדויקת ברור שיש הפרש עמלות מסויים שממנו והלאה אנשים יעדיפו לא להמר בווינר.
אמרנו שווינר מחוייבים, לכאורה, לגבות עמלה קבועה של 19% על כל משחק (משחק הוא למעשה שלושה הימורים שונים שקשורים זה לזה: הימור על התוצאות 1, 2 או X של משחק מסויים). העמלה הזו כל כך גבוהה יחסית לעמלות של אתרי הימורים, שקשה להאמין שמישהו יסכים להמר בווינר.
תיאוריית הקונספירציה שלי היא שווינר מצאו דרך לעקוף את הבעיה הזו. לכאורה, הם מציעים יחסי הימורים שמבטאים עמלה פוטנציאלית של 19% למשחק. בפועל, הם מטים את יחסי ההימורים כך שרוב העמלה באה לידי ביטוי בהימור על האנדרדוג, שאף אחד לא לוקח גם ככה. ההימורים שאנשים כן לוקחים (ההימורים על הפייבוריט) מגלמים עמלה של כ-10% - עדיין גבוהה יותר מבאתרי ההימורים, אבל לא גבוהה מספיק בשביל להצדיק עבירה על החוק. בקיצור, אני מאמין שווינר מציעים הימורים עם עמלה ממוצעת של 19%, אך בפועל גוזרים קופון של מעט יותר מ-10%.
עדיין נשאלת השאלה עד כמה ווינר מסתכנים - אני לא מאמין שהם ממלאים תפקיד של מתווך בין מהמרים, כי סביר שהרוב המוחלט של ההימורים מתבצעים על הפייבוריט בכל משחק (ויחסי ההימורים לא מאזנים זאת, בניגוד לדוגמא של אתר הימורים ב' מקודם). מצד שני, הם גובים עמלות גבוהות כל כך שיכול להיות שהן מכסות את הסיכון.
בשורה התחתונה: לא כדאי להמר בכלל. ואם מהמרים, לא כדאי להמר בווינר. ואם מהמרים בווינר, לא כדאי להמר על האנדרדוג.
