דיסוננס קוגניטיבי

ב-A Mathematician Plays the Stock Market, מתאר פרופ' ג'ון אלן פאולוס את המשחק הבא:

אתם חלק מקבוצה של 10 אנשים. ברגע מסויים, כל אדם בקבוצה אומר מספר כלשהו בין 0 ל-100 (כולם אומרים בו זמנית). המנצח במשחק - שגם זוכה בפרס של $100 - הוא האדם שאמר את המספר הקרוב ביותר ל-80% מממוצע כל המספרים שנאמרו. במקרה שמספר אנשים קרובים באותה מידה, הפרס מחולק ביניהם שווה בשווה.

לדוגמא: נניח שאתם אמרתם 40, וכל השאר אמרו 50. במקרה זה ממוצע כל המספרים הוא 49, 80% ממנו שווה (בערך) ל-39 ולכן אתם תזכו בפרס.

מהי האסטרטגיה הטובה ביותר לנצחון במשחק?

ניתן להראות שבהנחה שכל שחקן אומר מספר באקראי, ממוצע המספרים יהיה 50 (משיקולי התפלגות אחידה). לכן, כדאי לומר מספר ששווה ל-80% מ-50, ז"א 40 (בדיוק כמו בדוגמא למעלה).

אבל רגע! השחקנים האחרים לא טפשים, ולכן בודאי חושבים בצורה דומה. אם כולם יאמרו 40 - הממוצע יהיה 40 ו-80% ממנו יהיה שווה ל-32. לכן, אסטרטגיה עדיפה תהיה לומר 32.

כיוון שאת הטיעון האחרון ניתן להפעיל שוב ושוב, המסקנה הבלתי נמנעת היא שהאסטרטגיה הטובה ביותר לנצחון היא פשוט לומר 0… כמובן, זאת בהנחה ששאר השחקנים רציונליים כמונו.

במושגי תורת המשחקים, אסטרטגיה זו מכונה שיווי משקל נאש של המשחק (על שם ג'ון פורבס נאש, המתמטיקאי חולה הסכיזופרניה מהסרט "נפלאות התבונה"). המשמעות האינטואיטיבית היא שזו אסטרטגיה שאם כל השחקנים יפעלו לפיה (כל אחד בנפרד), אף אחד לא ירצה לשנות את דעתו בדיעבד. ואכן, אם כל השחקנים יאמרו 0 - הממוצע יהיה 0, 80% ממנו יהיה גם 0, והפרס יחולק שווה בשווה בין כולם. לכל שחקן בודד לא ישתלם לשנות את החלטתו בדיעבד, כיוון שכל שינוי כזה פשוט יוציא את אותו שחקן מחלוקת השלל. בנוסף, ניתן להוכיח שבמשחק המתואר זהו שיווי משקל נאש היחיד.

ולמה כל זה מעניין?

כי אם תנסו לשחק את המשחק במציאות (עם קבוצת חברים) ותבחרו לומר 0, סביר מאוד להניח שלא תזכו! מתברר שהניתוח המתמטי המדויק הופך לחסר משמעות כשאנו מתעסקים עם בני אדם אמיתיים ולא רציונליים.

למעשה, המשחק הוא מודל פשוט להשקעה ספקולטיבית בבורסה: כמו במשחק, גם בבורסה ה"מנצח" הוא זה שמצליח לנחש בצורה הטובה ביותר את מגמת השוק (שבתורה מורכבת  מניחושי השחקנים האחרים), ולאו דוקא זה שמבצע את תהליך החשיבה הטוב ביותר.

במובן זה, ל"משקיע צודק" לא אכפת האם לחברה מסויימת יש פוטנציאל אמיתי להצלחה, אלא רק האם השוק בכללותו חושב כך או אחרת. נתונים לגבי החברה (תחזיות רווח, למשל) משפיעים על ההחלטה האם להשקיע בה או לא, רק כיוון שמשקיעים רבים אחרים מייחסים להם חשיבות במערכת השיקולים שלהם. אנלוגיה מצויינת לכך היא מה שמכונה תחרות היופי הקיינסיאנית, שתוארה בספרו של הכלכלן ג'ון מיינרד קיינס.

האם זה אכן המצב בפועל? כנראה שכן. הנה מדד ת"א 100 בתקופת האירועים האחרונים בלבנון (נתונים וגרף מאתר הבורסה לניירות ערך, לגבי התקופה שבין ה-9/7/2006 ל-19/8/2006):

ולשם השוואה, הנה מדד ת"א 25 שמציג באותה תקופה מגמה זהה כמעט:

בשני המקרים, הירידה הדרסטית בימים שלאחר ה-12/7/2006 (חטיפת החיילים בלבנון) היא ללא ספק תוצאה של תחרות יופי קיינסיאנית - ולא של שינוי אמיתי בשווי החברות הגדולות במשק הישראלי.

בתקופה זו, משקיע חכם היה מבין שמצב השוק לא השתנה באמת ולכן לא היה משנה את הרכב ההשקעות שלו - משקיע כזה אכן היה מסיים את התקופה במצב דומה לזה שהתחיל בו. לעומתו, משקיע צודק היה לומד שלאחר אירועים בטחוניים הבורסה מגיבה בירידות שערים, ומוצא את עצמו בסיום התקופה עם רווחים משמעותיים.

לפני חודשיים, חבר שחזר מארה"ב סיפר לי על אירוע מעניין שראה במסעדת Smith & Wollensky במנהטן (מסעדת סטייקים ידועה, וגם יקרה למדי):

בשולחן לידו ישבו ארבעה אנשי עסקים ואכלו ארוחת צהריים. עם הגעת החשבון בסיום הארוחה, כל אחד הוציא את כרטיס האשראי שלו והניח אותו בסלסלת החשבון. המלצר הגיע, ולבקשת החבורה שלף באקראי את אחד מכרטיסי האשראי - והשתמש בו כדי לשלם את החשבון כולו.

ניסינו לחשוב ביחד מה עומד מאחורי שיטת התשלום הזו. כמובן, יכול להיות שמדובר במשחק או בהתערבות חד-פעמית, ולכן בהימור לכל דבר - ההנאה הנגרמת ממנו נובעת לכאורה מהמתח וההתרגשות שכרוכים בכל הימור.

אבל האם יש הגיון עמוק יותר בחלוקת החשבון בשיטה כזו? החבר הציע את התזה הבאה:

נניח שהחבורה יוצאת לאכול ביחד בכל יום. בשלב מסוים, הם הגיעו למסקנה שהם נהנים יותר מהארוחה כשכל אחד "מפנק את עצמו, ולא מתקמצן על הכסף" (למשל מזמין גם מנה ראשונה יקרה, קינוח בסיום הארוחה ומשקאות חריפים). אבל בפועל, כל אחד המשיך לעשות את השיקול הכלכלי הקר, והעדיף לחסוך.

הגרלת החשבון פותרת את הבעיה, כיוון שהיא מעודדת את כל אחד מהאנשים לצרוך יותר: ההגיון הוא שאם החשבון כולו מוגרל, בסיכוי גבוה (75%) האדם הבודד לא ישלם דבר - ולכן כל מנה נוספת שיזמין תהיה לכאורה "בחינם" (למעשה, משיקולי תוחלת, לאורך זמן כל מנה נוספת תעלה 25% ממחירה הרגיל).

ואכן, חוקרים ישראלים הראו בניסוי [2004] כי בחירת המנות במסעדה מושפעת מאוד מאופן חלוקת החשבון. הם בדקו קבוצות סועדים, והשוו בין שלוש דרכים לתשלום החשבון:

1. החשבון משולם כולו ע"י מבצע הניסוי (גורם חיצוני לקבוצת הסועדים)
2. החשבון מחולק שווה בשווה בין הסועדים
3. כל סועד משלם את חלקו בחשבון

כצפוי, התוצאות הראו כי אנשים צורכים מנות רבות (ויקרות יותר) במקרה הראשון, מעט פחות במקרה השני ועוד פחות מכך במקרה השלישי. במילים אחרות: אנשים אכן נוטים להוציא יותר כסף כשהחשבון מתחלק בין כולם.

הניסוי אמנם לא בדק ישירות את ההשפעה של חלוקת החשבון בשיטת ההגרלה, אבל הגיוני לצפות שהיו מתקבלות תוצאות דומות לאלה שבמקרה מס' 2 (חלוקת החשבון שווה בשווה). זאת, כיוון שמשיקולי תוחלת שתי השיטות שקולות.

אוקי, אז לכאורה מצאנו הסבר הגיוני להגרלת החשבון… אבל משום מה, הרגשתי שהעסק עדיין לא פתור. הרי לא נראה סביר שההסבר לסיטואציה המתוארת (אנשי עסקים אמריקאים, מסעדת יוקרה במנהטן) נובע בסופו של דבר מכך שלאנשים המעורבים אכפת כל כך מהעלות הנוספת של עוד כמה מנות! ההסבר האחרון נראה לי יותר כמו תוצאת לואי של שיטת ההגרלה, ולא כמו המטרה המרכזית שלה. בשבוע שאחרי, עוד ניסיתי מדי פעם לחשוב על הנושא שוב - ללא תוצאות. ואז שכחתי מכל הסיפור.

חודש וחצי עברו, ולפתע, תוך כדי מקלחת לפני-יציאה אתמול — הבזיק לי בראש הסבר נוסף:

נניח שארבעת אנשי העסקים אכן יוצאים הרבה לארוחות צהריים משותפות, ושהם מזמינים בכל יום מנות שעלותן פחות או יותר דומה (ארוחה עסקית למשל, אם כי אני בספק שיש כזו בסמית' אנד וולנסקי :) במקרה זה, הדרך ההגיונית לשלם את החשבון (כדי לחסוך זמן ולא לסבך את המלצר עם מספר כרטיסי אשראי) היא בסבב - ז"א, בכל פעם אדם אחר ישלם את החשבון במלואו.

אבל לתשלום בשיטת הסבב יש שתי בעיות: ראשית, כפי שכבר ראינו במקרה מס' 1 בניסוי, אנשים נוטים לצרוך יותר כשהם אינם נדרשים לשלם על מה שצרכו (ולכן השיטה אינה הוגנת כלפי מי שתורו לשלם). שנית, ואפילו בעייתי יותר - שיטת הסבב הגיונית והוגנת רק אם ארבעת האנשים הנ"ל יוצאים כולם ביחד לארוחות צהריים רבות, רק אם לא מצטרפים אליהם אנשים נוספים, ורק אם לארוחות הצהריים בכל יום עלות דומה (מה שפוסל על הסף את החלפת המסעדה, למשל)!

תשלום החשבון בשיטת ההגרלה פותר בדיוק את שתי הבעיות האלה, ועדיין חוסך זמן וסיבוך ברגע התשלום. זאת כיוון ששוב, משיקולי תוחלת, ניתן להראות ששיטת ההגרלה הגיונית והוגנת גם אם בכל יום יוצאים אנשים שונים לארוחת הצהריים, ואפילו אם בכל יום מספר האנשים שונה!

ההסבר האחרון מעניין, כי הוא מראה שלשיטת ההגרלה יש גם צידוק כלכלי (יעילות), ולא רק צידוק פסיכולוגי (הנאה מעצם ההימור או מתופעת הלואי של הצריכה הגדולה יותר).

ולמה אני מספר את כל זה?

כי מעבר לניתוח הסיטואציה (שלדעתי מעניין בפני עצמו), יש כאן נקודה נוספת שדורשת התייחסות: העובדה שההסבר השני קפץ לי לראש לאחר שלא חשבתי על הבעיה במשך למעלה מחודש וחצי!

מתברר שמדובר בתופעה פסיכולוגית ידועה שמכונה אפקט זייגרניק (על שם הפסיכולוגית הסובייטית בלומה זייגרניק שגילתה אותו): אנשים נוטים לזכור טוב יותר מטלות שלא הושלמו עדיין (או שהופסקו באמצע), לעומת מטלות שהושלמו כבר - באופן בלתי מודע, כמובן. דרך אחרת להתייחס לתופעה, היא שהמוח ממשיך לבצע "עיבוד ברקע" על מטלות כאלה.

במאמר קלאסי [1927], זייגרניק הראתה שמלצרים זכרו מצוין את ההזמנות שקיבלו כל עוד הן לא סופקו עדיין לסועדים, אך מרגע שהזמנה סופקה לסועד (ולכן "הושלמה") - המלצרים נטו לשכוח אותה. זאת, באופן מפתיע, ללא תלות משמעותית במשך הזמן שעבר מאז קבלת ההזמנה.

(טענה רווחת היא שפרקי סיום עונה המסתיימים ב"קליף האנגר" מנצלים את התופעה כדי לגרום לצופי הטלויזיה לזכור את הסדרה עד לתחילת העונה הבאה)

בכל מקרה, המסקנה מבחינתי היא שאם הייתי מסתפק בהסבר המקורי להגרלת החשבון - ההסבר הנוסף לא היה עולה בראשי לעולם.

לפני שבוע הייתי בתערוכת סוף השנה של בצלאל, האקדמיה לאמנות ועיצוב בירושלים. התערוכה השנה נקראת "בצלאל 100", והיא מוצגת דוקא באיזור הדיוטי-פרי של הטרמינל הישן בנתב"ג (מיקום מעניין כשלעצמו, שלדעתי תרם הרבה לאווירה בתערוכה).

אני אנצל את ההזדמנות כדי להמליץ על התערוכה באופן כללי: בוגרי כל מגמות בי"ס (תקשורת חזותית, עיצוב תעשייתי, עיצוב אופנה ועוד) מציגים שם את עבודות הסיום שלהם, וביניהן לא מעט מיצגים שהצליחו להלהיב אפילו בור אמנות כמוני. התערוכה נמשכת עוד שבוע, וכדאי מאוד ללכת לראות (הכניסה חופשית, כמובן).

והנה מיצג אחד שאהבתי במיוחד: "אוטומטי מתמטי". תחילה, האמן הזין דגם פשוט של כסא לתוכנת עיצוב ממוחשב (תוכנת CAD). לאחר מכן, המחשב שינה באקראי מאפיינים שונים של הכסא שהוזן: אורך הרגליים, הזווית ביניהן, גובה המשענת וכו'. תהליך המוטציה הזה חזר על עצמו מספר רב של פעמים, ובסופו של דבר האמן בחר את ה"כסאות" שנראו לו מעניינים ביותר. התוצאה, לפי האמן, היא "מוטציות חדשות ומוזרות, ששוברות את הפרדיגמות התפיסתיות שלנו לגבי האוביקט המקורי".

הקונספט הזה (חיפוש אפשרויות רבות באקראי ע"י מחשב, ובחירה סופית של האפשרות הטובה מביניהן ע"י אדם) נראה לי מעניין מאוד: מדובר בשיטה מצוינת למציאת פתרונות יצירתיים לבעיות קשות (ז"א בעיות שמרחב הפתרונות האפשריים שלהן גדול מאוד), כיוון שהיא מנצלת היטב את היתרונות היחסיים השונים שיש לאדם ולמחשב. המגבלה העיקרית של השיטה, היא שהיא מתאימה אך ורק לבעיות בהן הפתרונות האפשריים מוגדרים היטב, ולמחשב יש דרך טובה לבצע הערכה בסיסית של איכות כל הפתרון.

למתעניינים, כתבתי כאן בעבר על שימוש בקונספט דומה כדי למצוא שם טוב לאתר אינטרנט.

הכדור הוא עגול? לא בדיוק.

כפי שניתן לראות בבירור בתמונה הבאה, כדור הכדורגל הוא למעשה פוליהדרון (פיאון) משוכלל שמורכב ממשושים ומחומשים, או בכינויו המתמטי: איקוסהדרון קטום. הסיבה היחידה שהוא נראה עגול, היא כתוצאה מלחץ האויר שבתוכו.

אם מתייחסים לכדורגל כאל גרף מישורי (קשתות=תפרים, קודקודים=מפגשי תפרים), ניתן להוכיח בעזרת משפטים של תורת הגרפים (למשל בעזרת נוסחת אוילר) שבכדורגל יהיו תמיד 12 מחומשים, ללא תלות במספר המשושים. בכדורגל האמיתי, דרך אגב, 12 מחומשים ו-20 משושים.

מתברר שיש מעט מאוד אפשרויות לפיאונים משוכללים כאלה, ולמעשה קיימים רק 5 פיאונים אפלטוניים (או קוביות D&D) ו-13 פיאונים ארכימדים. זה יכול להסביר למה לאיקוסהדרון הקטום (טוב, לכדורגל) יש נטיה להופיע בעולם במקומות לא צפויים. רוצים דוגמאות? הנה שתיים:

מעטפת חומר הנפץ באיש שמן (פצצת האטום שהוטלה על נגאסקי ב-9/8/1945) היתה בצורת כדורגל, כפי שתוכלו לראות בנק' 6 ו-7 בשרטוט הזה. המעטפת נועדה להתחיל את תגובת השרשרת ע"י מיקוד הפיצוץ כלפי פנים (ולכן היתה חייבת להיות מאוד סימטרית), וכנראה שלמתכנני הפצצה היה נוח יותר להרכיב את חומר הנפץ בצורת משושים ומחומשים מאשר ככדור עגול לגמרי.

גם מולקולת הפולרין (שעל גילויה הוענק פרס נובל לכימיה ב-1996) היא במבנה של כדורגל. חוץ מגרפיט ויהלום, זוהי המולקולה הטבעית היחידה (המוכרת כיום) שעשויה כולה מאטומי פחמן, והמבנה המשוכלל שלה הופך אותה לחזקה מבין השלוש. עוד קצת על המתמטיקה שמאחוריה תוכלו לקרוא כאן.

דרך אגב, כל האמור לעיל נכון לגבי כדור הכדורגל הקלאסי. במונדיאל הנוכחי, פיפ"א ואדידס הציגו את כדור הטימגייסט ("רוח קבוצתית") שאינו מורכב ממשושים ומחומשים, ונראה כך:

אז טוב, הכדור בכל זאת עגול. אבל הוא לא תמיד היה ככה :)

כל סטודנט מכיר את ה"מבחן האמריקאי" (מבחן multiple choice), שבו יש לסמן את התשובה הנכונה היחידה מבין מספר תשובות אפשריות.

נניח שאתם נבחנים במבחן כזה, ואינכם יודעים את התשובה הנכונה. מה תסמנו?

פרופ' מיה בר-הלל מהמרכז לחקר הרציונליות באוניברסיטה העברית הראתה [2003] כי במבחנים כאלה הסיכוי שהתשובות האמצעיות (ב' או ג') נכונות, גדול משמעותית מהסיכוי שהתשובות הקיצוניות (א' או ד') נכונות. בנוסף, היא הראתה שאנשים שאינם יודעים את התשובה הנכונה נוטים בדר"כ לסמן את התשובות האמצעיות (ובצדק, כנראה :)

במאמר נוסף של אותה חוקרת [2002] נטען כי המרכז הארצי לבחינות והערכה ביצע במודע ובמשך תקופה ארוכה איזון של התשובות הנכונות בבחינה הפסיכומטרית ("key balancing") כדי ש"יראו אקראיות". ספציפית, כל אחת מארבע התשובות האפשריות הופיעה בערך אותו מספר פעמים כתשובה נכונה, והכותבים נמנעו מרצפים ארוכים של אותה תשובה. ככל הנראה, גישה זו נמשכה עד שנת 1999.

בשני המקרים, מדובר בכשל אנושי בתכנון הבחינה: מטרת הבחינה היא הרי לשקף את רמת הידע של הנבחן, אך במקרים שתוארו נבחן נבון יכול להגדיל את ציונו גם אם אינו מכיר כלל את החומר עליו הוא נבחן.

אבל גם אם נניח שכותבי הבחינה עשו את עבודתם נאמנה ומספרי התשובות הנכונות אכן נבחרו באקראי, למבחן האמריקאי יש בעיה אינהרנטית: הוא אינו משקף בצורה מדויקת את רמת הידע של הנבחן.

כדי להבין את הנקודה האחרונה, דמיינו שאתם ניגשים למבחן אמריקאי שבו 10 שאלות, כשלכל אחת 4 תשובות אפשריות (ובדיוק תשובה אחת נכונה). נניח שאתם יודעים לפסול 2 תשובות מכל שאלה, ומסמנים באקראי אחת מהתשובות שנותרו. מה הציון שתקבלו?

התשובה היא שלא ניתן לדעת במדויק: הוא יכול לנוע בין 0 ל-100, בתלות במספר התשובות הנכונות שהצלחתם לנחש. למעשה, משיקולי התפלגות בינומית ניתן לנבא שברמת בטחון של 90% הציון שתקבלו ינוע בין 30 ל-70, אך בכל מקרה הציון המדויק שתקבלו אינו ידוע, ובודאי שלא ישקף בצורה מדויקת את רמת הידע שלכם.

בעזרת ניתוח סטטיסטי מעמיק יותר ניתן להראות שהציון במבחן אמריקאי הוא למעשה אומד בלתי מוטה לרמת הידע של הנבחן (כמובן, תחת ההנחה שלמבחן עצמו יש תוקף, ז"א שהשאלות בו אכן בוחנות ידע בחומר). המשמעות האינטואיטיבית היא שאם נחזור על המבחן אינסוף פעמים (כשבכל פעם הנבחן מנחש באקראי את התשובות שאינו יודע בודאות), נקבל בתוחלת (או "בממוצע") ציון שיבטא במדויק את רמת הידע של הנבחן.

אבל במציאות, רוב המבחנים האמריקאים (ובכלל) מתבצעים פעם אחת בדיוק. האם ניתן לתכנן מבחן כך שגם הציון שיתקבל בו לאחר בחינה בודדת ישקף במדויק את רמת הידע של הנבחנים?

הנה הפתרון של החוג למתמטיקה באוניברסיטת תל אביב (מבחני הקורס "מבוא להסתברות" נערכים כך, כנראה בהשראת פרופ' בוריס צירלסון):

המבחן מורכב מ-18 שאלות אמריקאיות "רגילות" (ז"א ארבע תשובות אפשריות שמתוכן תשובה נכונה בודדת), פלוס טוויסט קטן - לנבחן מותר לסמן כמה תשובות שירצה. למעשה, הוא יכול אפילו לסמן את כל התשובות במבחן. הניקוד הסופי נקבע בצורה הבאה: על כל תשובה נכונה שסומנה הנבחן מקבל 6 נקודות. על כל תשובה שגויה שסומנה, הנבחן מאבד 2 נקודות. הציון הסופי יכול לנוע בין 108 למינוס 108, ובכל מקרה "מעוגל" כך שיהיה בין 0 ל-100.

מקרים מייצגים:

• אם לא סימנת אף תשובה - תקבל אפס.
• אם סימנת את כל התשובות בטופס - תקבל אפס (על כל שאלה תקבל שש נקודות עבור התשובה הנכונה, וירדו לך בסה"כ שש נקודות עבור שלוש תשובות שגויות).
• אם סימנת בכל שאלה תשובה אחת באקראי - תקבל בתוחלת אפס (וניתן להראות שסטיית התקן במקרה זה תהיה קטנה מאוד).
• לעומת זאת, מספיק שתדע לפסול בודאות את אחת התשובות ותוכל לסמן את שלוש התשובות האחרות - ולקבל 2 נקודות בכל מקרה.

המשמעות היא שלנבחן אין אינטרס לנחש תשובות באקראי, וכתוצאה הציון במבחן משקף את רמת הידע שלו בצורה מדויקת יותר.

לסיום, ובמעבר חד, באתר המרכז הארצי לבחינות והערכה ניתן למצוא סטטיסטיקות מעניינות על המבחן הפסיכומטרי. בין היתר, ניתן לראות שככל שאתה עשיר יותר, בן להורים משכילים יותר ובעל העדפה למדע (למשל מעדיף ללמוד פיסיקה על חינוך) - ציון הפסיכומטרי שתקבל יהיה גבוה יותר. בנוסף, ציון הפסיכומטרי הממוצע של בנים משמעותית גבוה יותר מזה של בנות.

[למען ההבהרה: אין בפסקה האחרונה כל טענה כנגד המבחן הפסיכומטרי]