ארכיון פוסטים ששייכים לנושא 'מתמטיקה'

אנחנו ניצחנו, מכבי הפסידה

שלישי, 22 במאי 2007

"קבוצות" הוא אחד מהנושאים הבודדים שזוכים להתייחסות גם במתמטיקה וגם בפסיכולוגיה: במתמטיקה תחת המטריה הרחבה של תורת הקבוצות (שהיא אולי הבסיס למתמטיקה כולה), ובפסיכולוגיה תחת המטריה הרחבה לא פחות של הפסיכולוגיה החברתית.

את העיסוק המתמטי בקבוצות אשאיר להזדמנות אחרת (למעשה כבר נגעתי בו מעט כשכתבתי על קבוצות אינסופיות), והפעם אתמקד בפן הפסיכולוגי בלבד: אתאר בקצרה תיאוריה פסיכולוגית שעוסקת בקבוצות חברתיות וההשתייכות אליהן, ואראה כיצד היא באה לידי ביטוי בטוקבקים של אוהדי מכבי תל אביב בכדורסל.

ההגדרה המדוייקת של קבוצה חברתית עמומה למדי (בדומה להגדרות של מושגים פסיכולוגיים רבים אחרים), אבל היא כמעט ברורה מאליה בצורה אינטואיטיבית. קבוצות חברתיות לדוגמא הן קבוצת כדורסל, קבוצת האוהדים שלה, קבוצת הפסיכולוגים, קבוצת הנשים, קבוצת הישראלים וכו'.

קל לראות שכל אחד מאיתנו חבר במספר רב של קבוצות חברתיות שונות. השאלה המתבקשת, אם כן, היא איזה צורך מספקת החברות בקבוצה?

אחת התיאוריות שמנסה לענות על השאלה היא תיאורית הזהות החברתית של Tajfel ו-Turner, שטוענת כי הזדהות עם קבוצות נועדה לשפר את ההערכה העצמית של הפרט.

כנגזרת מכך, השערה מרכזית של התיאוריה היא שקיים קשר חיובי בין היוקרה (סטטוס) של קבוצה לבין מידת ההזדהות איתה, ובמילים אחרות: ככל שקבוצה תחשב כ"מוצלחת יותר", אנשים ייטו יותר להזדהות איתה.

הנקודה האחרונה נראית, על פניו, כמעט טריוויאלית. בכל זאת, התיאוריה צופה גם את קיומן של תופעות מורכבות יותר, למשל שאנשים שיחוו ירידה זמנית בהערכה העצמית ייטו יותר להזדהות עם קבוצות, וכתוצאה מכך ההערכה העצמית שלהם באמת תעלה.

ואכן, שתי הטענות הנ"ל אומתו במספר ניסויי מעבדה קלאסיים, מה שהביא לביסוס משמעותי של התיאוריה. אבל התיאוריה אינה מסבירה רק תופעות שמתרחשות במעבדה:

במאמר קלאסי [1976] בדק רוברט סיאלדיני שבע אוניברסיטאות גדולות בארה"ב, והראה שבבוקר שלאחר נצחון של קבוצת הפוטבול של האוניברסיטה נראים בקמפוס יותר סטודנטים לבושים בחולצת האוניברסיטה, לעומת בבוקר שלאחר הפסד של קבוצת הפוטבול. בנוסף, סטודנטים נטו להשתמש בביטוי We (גוף ראשון) כשתיארו נצחון של קבוצת הפוטבול, ובביטוי They (גוף שלישי) כשתיארו הפסד. סיאלדיני תיאר זאת כ-"basking in reflected glory" - התחממות מהתהילה המשתקפת עליך בעקבות הצלחה של קבוצה שאתה חלק ממנה. כמובן, כל זה מסתדר מצוין עם ההשערה המרכזית של תיאורית הזהות החברתית.

מתברר שהתופעה אינה מוגבלת רק לאוניברסיטאות בארה"ב, והיא מתקיימת גם במחוזותינו:

בשבועיים הראשונים של חודש אפריל 2007, התמודדה קבוצת הכדורסל מכבי תל אביב מול אלופת אירופה צסק"א מוסקבה, בשלב ההצלבה של אליפות אירופה בכדורסל (יורוליג). ההתמודדות היתה בשיטת הטוב משלוש, כשהמשחק הראשון והשלישי נערכים במוסקבה, והמשחק השני בישראל.

בסופו של דבר, כל קבוצה ניצחה את משחקי הבית שלה (צסק"א – את המשחקים הראשון והשלישי; מכבי – את המשחק השני), כך שבסיום ההתמודדות צסק"א העפילה לשלב הפיינל-פור ומכבי הודחה מהתחרות. שלושת המשחקים הסתיימו בהפרשים משמעותיים (80:58, 56:68, 92:71).

לאחר כל משחק, מתפרסמת ב-ynet כתבת סיכום במדור הספורט, ובעקבותיה מספר רב של טוקבקים. הטוקבקים אנונימיים לחלוטין, ועוסקים בקשת רחבה של נושאים: מניתוחי ספורט מעמיקים, ועד קללות נמוכות כנגד שחקנים, מאמנים, פרשני הערוץ הראשון, כותב המאמר וטוקבקיסטים אחרים.

כאמור, השערה מרכזית של תיאוריית הזהות החברתית היא שקיים קשר חיובי בין היוקרה (סטטוס) של קבוצה לבין מידת ההזדהות איתה. ספציפית, ניתן לשער כי לאחר ניצחון של מכבי תל אביב מידת ההזדהות איתה תהיה גדולה יותר מאשר לאחר הפסד, והדבר יבוא לידי ביטוי בטוקבקים.

כדי לבדוק האם ההשערה אכן מתקיימת, ערכתי את הבדיקה הבאה: בשלב הראשון, סיננתי מתוך 535 הטוקבקים שנלוו לכתבות (משחק 1, משחק 2, משחק 3) את אלה שנכתבו ע"י אוהדי מכבי מוצהרים - מי שהזדהה כ"צהוב", "אוהד מכבי" או "מכביסט", וטוקבקים נוספים שמתוכנם היה ברור שהכותב הוא אוהד מכבי. בשלב השני, סיננתי טוקבקים בהם התייחסו האוהדים למכבי תל אביב עצמה (בניגוד לתגובות כלליות בסגנון "איזה משחק!"). כעת נשארתי עם 58 טוקבקים בלבד, אותם חילקתי לשתי קטגוריות: אלה בהם ההתייחסות למכבי היתה בגוף ראשון ("ניצחנו בפוקס"), ואלה בהם ההתייחסות למכבי היתה בגוף שני או שלישי ("מכבי ניצחו בפוקס"). את המקרים הבודדים בהם היו התייחסויות משני הסוגים ספרתי בקטגוריה הראשונה. להלן מספרי הטוקבקים שנכנסו לניתוח, בחלוקה לפי הקטגוריות:

משחק 1, "אנחנו": 18 79 123 137 155 172 180
משחק 1, "הם": 21 33  35  36  80  92  97 104 112 133 150 154 167
משחק 2, "אנחנו": 18 40 48 54 57 73  82  90 102 150
משחק 2, "הם": 26 34 68 88 94 96 115 151
משחק 3, "אנחנו": 5  35  58  93 156 191
משחק 3, "הם": 1 110 121 123 135 138 150 167 171 179 180 182 183 185

הגרף הבא מציג את הנתונים בצורה ברורה יותר:

maccabi-comments1.gif

והגרף הבא מאחד את המשחק הראשון והשלישי לקטגוריה בודדת של "הפסד":

maccabi-comments2.gif

כפי שניתן לראות, הנתונים עומדים בקנה אחד עם ההשערה ועם התיאוריה: אחוז גדול יותר של אוהדי מכבי תל אביב התייחסו לקבוצה בגוף ראשון לאחר ניצחון מאשר לאחר הפסד.

האם מדובר בהבדל מקרי? נראה שלא. ניתוח שונות חד-גורמי בין נבדקים (שתי קטגוריות, לפי המנצח במשחק; השערה חד-צדדית) מצביע על כך שמדובר באפקט מובהק סטטיסטית, ברמת בטחון קרובה ל-95% (F(1, 56)=2.795; p=.05006).

בשורה התחתונה, הניבוי המרכזי ביותר של תיאורית הזהות החברתית מתקיים גם עבור אוהדי מכבי. בכל מקרה, אני מעדיף את ההסבר הזה מאשר את ההסבר של "סטיב קפלן ראש העיר האדום", שכתב כי "אוהדי הצלחות מכבי = האוהדים הגרועים בעולם! " (משחק 1, תגובה 161).

הערת צד: בדרך כלל מקובל להתייחס לאפקט כמובהק אם p<.05. בניתוח הסטטיסטי האחרון התקבל p שקרוב באופן מחשיד לערך הקריטי, ובכל זאת גדול ממנו במעט. חוקרים מסויימים עלולים לטעון שבמקרה כזה אסור לומר שהאפקט מובהק סטטיסטית. באופן אישי, אני מאמין שנכון יותר לציין את ערך ה-p המדויק שהתקבל ולהשאיר לקוראים את ההחלטה כיצד להתייחס לתוצאות, מאשר להתייחס לאפקט בצורה דיכוטומית כמובהק או לא.

סיכום שנה

שישי, 27 באפריל 2007

בדיוק לפני שנה כתבתי פה את הפוסט הראשון, וחשבתי שזו הזדמנות טובה לסכם את השנה הראשונה של הבלוג. אז מה היה לנו פה?

פוסטים
בסה"כ כתבתי השנה 30 פוסטים.

ניתחתי את הקמת הקואליציה החדשה בעזרת עקרונות של תורת המשחקים. המלצתי למלצרים על מספר טכניקות פשוטות להגדלת הטיפ. הסברתי מדוע הסקרים שנעשו לפני הבחירות נכשלו בחיזוי החלשות קדימה והתחזקות הגימלאים. המצאתי שיטה לייצור שמות לאתרי אינטרנט שנשמעים טוב ובכל זאת עדיין פנויים. רטנתי על ההתעלמות של בלו סקיוריטי מתגובה שכתבתי להם. חלמתי בהקיץ על סוף עידן הסלולר ועל רשתות תקשורת שיתופיות. הפרכתי כתבה שהתפרסמה בעמוד הראשי של מעריב ודיווחה על תופעה מדהימה שקשורה לגירושין בישראל. סיפרתי על הקשר בין סדר הלידה במשפחה לבין הסיכוי להיות הומוסקסואל. תיארתי רמאות אינטרנט מעניינת שמסבירה מדוע קרנות נאמנות שהצליחו בשנה שעברה לאו דוקא יצליחו בשנה הבאה. טענתי שמופע הזיקוקים של שגרירות צרפת איכזב בגלל כלל השיא-סוף. התלהבתי משימוש בנתוני טלפונים סלולריים כדי ללמוד על התנהגות האוכלוסיה בזמן אמת, ומאתר שמציג סטטיסטיקות על הפער העולמי בצורה ייחודית. ניסיתי לכמת את יציבות הממשל בישראל, והצעתי פתרון לא אינטואיטיבי להגדלת היציבות. הרהרתי על היעילות של מבחנים אמריקאיים וסיפרתי על מבחן אמריקאי מוזר במיוחד, ובכל זאת טוב יותר. ברוח המונדיאל הראיתי שהכדור לא עגול, וכתבתי על הקשר בין כדורי רגל לפצצות אטום. התפלספתי כי תורות האישיות לא יאבדו מערכן גם בעולם של מחקרי מוח. קיוויתי לגמר מונדיאל ללא פנדלים למען השוערים, הבועטים ובעיקר הצופים בבית. טענתי כי אנו לוקים בטעות הייחוס הבסיסית כשאנחנו משווים את מניעי ישראל למניעי חזבאללה. סיפרתי על עיצוב כסאות בעזרת אקראיות, שראיתי בתערוכת הבוגרים של בצלאל. הסברתי את ההגיון מאחורי שיטה מוזרה לחלק את החשבון במסעדה, ובמקביל ניסיתי להבין איך קרה שהתשובה צצה בראשי פתאום, אחרי למעלה מחודש ללא התעסקות בבעיה. התעמקתי בדקויות החוק לגבי מכירת המניות של הרמטכ"ל ביומה הראשון של מלחמת לבנון השניה. נהניתי מהקשר בין משחק פשוט לבין השקעות ספקולטיביות בבורסה. בדקתי את טענת האלוף שטרן לגבי הדמוגרפיה של לוחמי צה"ל, והראיתי שגודל היישוב משחק תפקיד משמעותי בהחלטה להתגייס לקרבי. הצעתי שיטה לסימון תגובות איכותיות באופן אוטומטי, בעזרת שילוב בין captcha לסוג מסויים של מבחן אינטלגנציה. כתבתי על תאונת דרכים שראיתי, ואיך תגובות האנשים בעקבותיה קשורות לכך שזוכי מדליות הארד מאושרים יותר מזוכי מדליות הכסף. הוכחתי כי על כדור הארץ קיימות בהכרח שתי נקודות מנוגדות עם טמפרטורה זהה, אבל לאו דוקא שתי נקודות מנוגדות בהן יורד גשם. הזמנתי אתכם לתחרות מחשבים מדליקה. עקצתי את הקצרנית של ועדת וינוגרד ואת ההכרות שלה עם מושגים מתורת המשחקים. התבדחתי ברצינות שתיבת המייל האינסופית של Yahoo לא גדולה מספיק.

מה לגבי תדירות הפוסטים? בממוצע בין פוסט לפוסט שאחריו עברו מעט יותר מ-12 יום, עם סטיית תקן של מעט פחות מ-16. אבל הסיפור האמיתי נמצא בגרף הבא:

post-frequency.gif

נראה שתדירות הפוסטים היתה במגמת ירידה לאורך השנה. הסיבה, אגב, היא לא מחסור ברעיונות, אלא פשוט תעדוף הזמן שלי לדברים אחרים. פרטים נוספים בעתיד :)

איזה פוסטים היו פופולריים במיוחד? הטבלה הבאה מציגה את חמשת הפוסטים הנצפים ביותר (לפי גוגל אנליטיקס) ואת חמשת הפוסטים המועדפים עלי. מתברר שיש ביניהם חפיפה די גדולה:

הנצפים ביותר
1. סימון אוטומטי של טוקבקיסטים אינטליגנטים
2. טעות הייחוס הבסיסית
3. הדמוגרפיה של לוחמי צה“ל (המשך)
4. איך לבחור שם לאתר אינטרנט?
5. משקיעים חכמים ומשקיעים צודקים

המועדפים שלי
1. הדמוגרפיה של לוחמי צה“ל (המשך)
2. סימון אוטומטי של טוקבקיסטים אינטליגנטים
3. טעות הייחוס הבסיסית
4. חלוקת החשבון ואפקט זייגרניק
5. על יציבות הממשל בישראל

תגובות
בסה"כ כתבנו השנה 268 תגובות.

אני מפריד בין תגובות "ערכיות" לתגובות "לא ערכיות", כשמבחינתי תגובה ערכית היא כל תגובה שמוסיפה מידע על הפוסט או תורמת לדיון סביבו. תגובות שרק מספרות לי כמה הקורא נהנה מהפוסט הן לא ערכיות לפי ההגדרה הזו (למרות שאני כמובן נהנה מאוד לקרוא אותן!). לדעתי, התגובות הערכיות הן הסיבה העיקרית לכך שקוראים חוזרים למאמר גם לאחר הקריאה הראשונה.

מי כתב יותר תגובות ערכיות - אני או אתם?

comments-breakdown.gif

מתברר שבערך אותו הדבר: 72% מהתגובות שלכם ו-70% מהתגובות שלי היו ערכיות. הטבלה הבאה מציגה את חמשת הפוסטים שזכו לתגובות הרבות ביותר, ללא התייחסות לערכיות:

המוגבים ביותר
1. סימון אוטומטי של טוקבקיסטים אינטליגנטים
2. מעבר לאינסוף
3. טעות הייחוס הבסיסית
4. חלוקת החשבון ואפקט זייגרניק
5. על יציבות הממשל בישראל

ולסיכום
כשהתחלתי לכתוב את הבלוג, חשבתי שאנסה את זה למשך שנה ואז אחליט אם להמשיך. השנה האחרונה בבלוג היתה מצוינת, ומבחינתי הניסוי הוכתר בהצלחה. תודה לכל הקוראים והמגיבים!

מעבר לאינסוף

חמישי, 29 במרץ 2007

שלשום התפרסם ש-Yahoo Mail תציע החל מהחודש הבא תיבות דואר אינסופיות בחינם (כרגע שטח האיחסון של Yahoo עומד עדיין על 2Gb, למול 2.75Gb של GMail ו-1Gb של Hotmail).

נניח לרגע שב-Yahoo באמת מתכוונים לשטח איחסון אינסופי, ולא סתם לשטח איחסון גדול מאוד. השאלה היא מה זה אומר בכלל? מה המשמעות של משהו "אינסופי"?

באנליזה ממשית (חדו"א) לאינסוף יש משמעות רק כחלק מביטוי גבול. פורמאלית, אומרים שגבול של סדרה הוא אינסופי (סימון: ∞) אם לכל מספר נתון אפשר למצוא איבר בסדרה כך שממנו והלאה כל האיברים בסדרה גדולים מהמספר הנתון. לדוגמא: סדרת המספרים שהאיבר ה-N שלה מוגדר ע"י 2N-1,000,000 היא כזו, ולמשל עבור המספר 74,000 אפשר לבחור את האיבר ה-1,000,000 בסדרה (קצת בזבני, אבל עובד).

אינטואיציה למשמעות ההגדרה אפשר למצוא אצל דיוויד לודג'. ב-The Picturegoers הוא כותב כך: "חשבו על כדור ברזל בגודל כדור הארץ, וזבוב שנוגע בו פעם במליון שנה. כשהכדור יתפורר כולו מהחיכוך, האינסוף אפילו לא התחיל".

במובן הזה, המשמעות של תיבת דואר אינסופית היא שהיא יכולה להכיל כמות מידע גדולה כרצונכם. רוצים לשמור את ספריית הקונגרס האמריקאי כ-attachment? אין שום בעיה. שטח האיחסון הרי גדול מ-20Tb. רוצים לשמור יותר מיילים ממספר החלקיקים ביקום? Yahoo אפילו לא ימצמצו. מספר החלקיקים מוערך בכ-80^10 (1 ואחריו 80 אפסים), וכמובן שהתיבה גדולה גם ממנו.

נראה, אם כן, שתיבת דואר אינסופית מספקת את כל צרכי האיחסון שיכולים להיות לנו. האמנם?

לא בהכרח. נניח שאני רוצה לפתוח שירות מתחרה ל-Yahoo Mail, ובדומה להם להציע תיבות דואר אינסופיות. כיוון שנפח הדיסק שלי מוגבל, אני מרמה: אני פותח תיבת דואר אישית (יחידה!) ב-Yahoo, ובכל פעם שמשתמש מקבל או שולח מייל בשירות שלי - אני בעצם שומר אותו בתיבה שפתחתי.

האם זה יעבוד? במילים אחרות, האם תיבה אינסופית אחת של Yahoo יכולה להכיל שתי תיבות אינסופיות אחרות? עשרים תיבות אינסופיות? אינסוף תיבות אינסופיות?

השאלה הזו דורשת מאיתנו לעשות משהו שהוא לכאורה בלתי אפשרי - להשוות בין אינסוף אחד לאינסוף אחר. זה כאילו נשאל מה יש יותר - מספרים שלמים, או מספרים שלמים זוגיים. על פניו נראה שיש יותר מספרים שלמים (כי הם כוללים בתוכם את הזוגיים, ובנוסף גם את האי-זוגיים), אבל למעשה שני הביטויים שווים לאינסוף! האם ∞ > ∞ ?

כדי לענות על השאלה, מתמטיקאים נדרשו למצוא הגדרה טובה יותר למושג אינסוף (ולמעשה גם למושג "קטן מ"). התוצאה היתה הגדרת המושג "עוצמה" כחלק מתורת הקבוצות - אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על עוצמה של קבוצה כמדד למספר האיברים בה.

חמוש בהגדרות החדשות, המתמטיקאי הגרמני גיאורג קנטור הוכיח שעוצמת קבוצת המספרים הזוגיים שווה לעוצמת קבוצת המספרים השלמים (וגם לעוצמת המספרים הטבעיים, הרציונליים והאלגבריים). לעוצמה הזו, שהיא כמובן אינסופית, הוא קרא א'-אפס (הסימון המקובל בעולם משתמש באות העברית א). כדי להבין את רעיון ההוכחה (ועוצמות באופן כללי) מומלץ לקרוא את סיפור המלון של הילברט.

האם כל העוצמות האינסופיות שוות זו לזו? באופן מפתיע, מתברר שלא. קנטור הוכיח שעוצמת המספרים הממשיים (שמסומנת פשוט: א') גדולה יותר מא'-אפס. אינטואיטיבית, המשמעות היא שיש יותר מספרים בין 0 ל-1, מאשר מספרים שלמים. קנטור גם הוכיח שקבוצת כל העוצמות היא בעצמה קבוצה אינסופית. במילים אחרות: לא רק שיש יותר מסוג אחד של אינסוף, מספר הסוגים הזה הוא בעצמו אינסופי. יותר מזה - אין אינסוף שגדול מכולם, ולכל אינסוף ניתן למצוא אינסוף אחר שממש גדול ממנו.

ובחזרה לתיבות הדואר. האם התיבה האינסופית של Yahoo היא השלב האחרון בתחרות בין ספקיות הדואר, ול-GMail נשאר רק להציע תיבת "אינסוף + 1Gb", כמו שמישהו הציע בצחוק? התשובה היא לא מוחלט. אפילו אם Yahoo אכן יציעו תיבה עם שטח איחסון אינסופי, יתכן שהיא לא תוכל להכיל מייל עבור כל מספר בין 0 ל-1. ואפילו אם כן, GMail עדיין יוכלו להציע תיבה אינסופית גדולה יותר. וכך עד אינסוף.

והערה לסיום: אחת השאלות התיאורטיות המעניינות במתמטיקה של האינסוף, היתה האם קיימת עוצמה אינסופית שגדולה ממש מא'-אפס וקטנה ממש מ-א'. קנטור טען שלא קיימת עוצמה כזו ("השערת הרצף"). מתברר שהתשובה מורכבת יותר מכן או לא, ולמעשה התשובה היא שאי אפשר לדעת. ב-1963 השלים פול כהן הוכחה שהתחיל קורט גדל ב-1940, והראה שהבעיה אינה כריעה, ז"א שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את נכונותה או לשלול אותה. הכוונה היא לא שההוכחה קשה במיוחד, אלא שהוכחה כזו אינה קיימת (במובן של משפט אי השלמות של גדל). פול כהן נפטר בשבוע שעבר, בגיל 72.

דרושה קצרנית עם ידע בתורת המשחקים

שבת, 24 במרץ 2007

מתוך עדותו של אלוף (מיל') עמוס מלכא בפני ועדת וינוגרד:

malka.gif

האמת היא שדוקא טעות הכתיב במונח המקצועי (אמור להיות zero-sum game, ובעברית משחק סכום אפס) לא מעניינת במיוחד.

לעומת זאת, אני חושב שיש משהו פואטי מאוד בבחירה של הקצרנית לרשום sickle (מגל) במקום cycle (מחזור). ועל זה נאמר: a vicious sickle.

טמפרטורה, גשם ורציפות

שבת, 30 בדצמבר 2006

הקור המקפיא של הימים האחרונים הזכיר לי אנקדוטה נחמדה מאחד מתרגילי הבית המוקדמים בחדו"א 3: מתברר שבכל רגע נתון, קיימות על פני כדור הארץ שתי נקודות מנוגדות בהן הטמפרטורה זהה בדיוק (הכוונה בנקודות מנוגדות היא לנקודות שאם נחבר אותן בקו ישר הוא יעבור בדיוק דרך מרכז כדור הארץ, למשל הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי).

ההוכחה לכך פשוטה יחסית, אבל דורשת היכרות עם מספר מושגים בחדו"א. ארבע הפסקאות הבאות, אם כן, הן "למטיבי לכת" בלבד :)

ראשית, מראים שפני כדור הארץ הם קבוצה קשירה מסילתית, ז"א שניתן לחבר כל שתי נקודות עליהם ע"י מסילה שנמצאת כולה על פני הכדור. לדוגמא, את תל אביב וחיפה ניתן לחבר בעזרת כביש החוף. את תל אביב וקפריסין ניתן לחבר בעזרת מסלול כלשהו שעובר בים (אבל עדיין נמצא כולו על פני כדור הארץ). מטעמי פשטות, אתייחס בהמשך לפני כדור הארץ כאל ספירת היחידה, ז"א כאל מעטפת של כדור מושלם.

בשלב השני, מניחים קיום של פונקציית טמפרטורה רציפה, שמתאימה לכל נקודה במרחב התלת ממדי את הטמפרטורה המדויקת שבה (נסמן אותה ב-F). כשאומרים שהפונקציה רציפה, מתכוונים לכך שלא קיימות שתי נקודות "צמודות" שהטמפ' בהן שונה מאוד. בחיי היום-יום ניתן למצוא דוגמאות שבהן ההנחה הזו לכאורה לא מתקיימת: למשל, כשאני מכין חביתה, הטמפ' של האש בכיריים גבוהה מאוד, אבל במרחק של ארבעה סנטימטר הצידה זה כמעט לא מורגש. למרות זאת, אם נתקרב לאש הטמפ' תעלה בצורה הדרגתית (אם כי מהירה יחסית), ובשום שלב לא תהיה "קפיצה" פתאומית.

בשלב השלישי, מגדירים פונקציה חדשה שמתאימה לכל נקודה על ספירת היחידה את ההפרש בין הטמפ' בה לבין הטמפ' בנקודה המנוגדת לה. פורמאלית, מסמניםG(x) = F(x) - F(-x)1, ומתכונות בסיסיות של פונקציות רציפות גם G רציפה. הטענה המקורית שקולה לכך ש-G מתאפסת בנקודה כלשהי.

כעת, ניתן להוכיח את הטענה: מסתכלים על הערך של G בקוטב הצפוני. אם G מתאפסת שם, סיימנו (כי המשמעות היא שבקטבים יש טמפ' זהה). אחרת - G מקבלת ערך חיובי באחד הקטבים, ולכן בהכרח מקבלת ערך שלילי בקוטב השני. בוחרים מסילה כלשהי שמחברת את הקטבים (קיימת מסילה כזו לפי השלב הראשון), ולפי משפט ערך הביניים, איפשהו על המסילה G מתאפסת. הנקודה הזו מקיימת את הטענה, ז"א הטמפ' בה זהה לזו של הנק' הנגדית לה.

באופן מפתיע, אולי, הטענה הזאת לא מתקיימת כשמדובר בגשם במקום בטמפרטורה. ז"א, לא בהכרח קיימות שתי נקודות מנוגדות בהן יורד גשם, או שתי נקודות מנוגדות בהן לא יורד גשם. לדוגמא, בתיאוריה יתכן שכל חצי הכדור הצפוני גשום, וכל חצי הכדור הדרומי לא גשום (עם עוד משחק מסויים לגבי קו המשווה עצמו). הסיבה לשוני היא שפונקציית הגשם - בניגוד לפונקציית הטמפ' - היא לאו דוקא רציפה: יכולות להיות שתי נקודות צמודות שבאחת מהן יורד גשם, ובשניה לא (בקצה של ענן, או אפילו מתחת לגשר או מטוס).

הנה המחשה ויזואלית (דו ממדית) של הנקודה-

continuity.jpg

בשרטוט השמאלי, ההילה האפורה מסמלת את הנקודות הגשומות. כפי שניתן לראות, לא קיימות שתי נקודות מנוגדות זהות - אם נקודה מסויימת גשומה, הנקודה המנוגדת לה אינה גשומה.

בשרטוט הימני, ההילה האפורה מסמלת את גובה הטמפ' בכל נקודה. אם מציירים את ההילה כך שלא יהיו בה "קפיצות" (כמו אלה שבשרטוט השמאלי), בהכרח יהיו שתי נקודות מנוגדות בהן גובה ההילה זהה בדיוק.

נקודה למחשבה: בהינתן שרטוט כמו זה שמימין, איך תכל'ס מוצאים את הנקודות הנ"ל?