דיסוננס קוגניטיבי

בחודש האחרון טיילתי בתורכיה עם שלושה חברים, בעיקר באיזור הרי הקצ'קר שבצפון מזרח המדינה. הפוסט הזה הוא אוסף של כמה אנקדוטות משם.

סדר הליכה בטראק
סדר היום בטראק די קבוע: קמים בבוקר (לא מוקדם מדי!), מעמיסים את המוצ'ילה על הגב, ומתחילים ללכת לפי סיפור הדרך. בכל יום הולכים 7-8 שעות נטו, עם הפסקות קצרות בין לבין. במהלך היום הולכים ביחד כקבוצה, והיום מסתיים כשכולם מגיעים ליעד המתוכנן.

כבר החל מהיום הראשון היה ברור שקצב ההליכה של כל אחד מאיתנו שונה משל האחרים. אלעד הוא יוצא פלחה"ן צנחנים, והיה נראה שהטראק והשבוע שבילינו בבודרום היו פחות או יותר שקולים עבורו מבחינת האתגר הפיסי. אחריו הלך אלון, שלזכותו יאמר שסחב את המשקל הגדול ביותר. אני הלכתי שלישי בדר"כ, וארז השתרך מאחור עם רגליים כואבות ומיובלות. כדי שלא יווצרו פערים גדולים מדי ביננו (במיוחד בערפל של הקצ'קר, שהגביל את הראות לעשרה מטרים בערך), היינו עוצרים מדי פעם להפסקה זריזה, מחכים שכולם יישרו קו, ואז ממשיכים ללכת.

האם סדר ההליכה הטבעי (ז"א, מי שהולך מהר יותר הולך ראשון) הוא גם סדר ההליכה האופטימלי?

מתברר שלא. בספר המטרה (קריאת חובה בקורס יסודות ניהול התפעול והייצור, שנה ג' בחוג לניהול) עושה ד"ר אליהו גולדרט עבודה טובה בלשכנע שסדר ההליכה האידיאלי הוא בדיוק הפוך לקצב ההליכה, ז"א הסדר האידיאלי הוא זה שבו האדם האיטי ביותר הולך ראשון. גולדרט מראה את זה בעזרת עקרונות של תורת האילוצים שפיתח, אבל גם אינטואיטיבית ברור מדוע זה כך: זמן ההגעה ליעד נקבע בכל מקרה ע"י האדם האיטי ביותר, והמרחק בין האנשים (שהיינו רוצים לצמצם) קטן ביותר כשהוא הולך ראשון, כיוון שהשאר "מצטופפים" אחריו.

אבל גולדרט מניח שקצב ההליכה אינו מושפע מסדר ההליכה, ולכן עוסק רק בנסיונות לצמצם את המרחק בין האנשים (לא מפתיע, בהתחשב בכך שעבורו סדר ההליכה בטראק הוא רק אנלוגיה לקו ייצור במפעל). הטענה שלי היא שסדר ההליכה שמציע גולדרט יעשה יותר מכך - הוא אפילו יקטין את זמן ההגעה ליעד! ספציפית, אני טוען כי קצב ההליכה של אדם גדל כשאחריו הולך אדם אחר.

למה שזה יקרה, בעצם? ההסבר הטריויאלי הוא שכשהולך אחריך מישהו מהיר יותר, אתה מעכב אותו. זה רע משתי בחינות: ראשית, אתה מפריע לו (ולכן, לפחות בהנחה שמדובר בחבר שלך, תווצר אצלך תחושת חוסר נעימות). שנית, אתה נמצא בסיטואציה שמדגישה את הנחיתות הפיסית שלך מולו (ולכן תווצר אצלך תחושת בושה). בשני המקרים מדובר בתחושות שלילית, ולכן תנסה להמנע מהן: פתרון אפשרי אחד הוא לתת לו לעקוף אותך, ופתרון אפשרי שני הוא להאיץ את הקצב.

אבל ההסבר הזה (שהוא מוטיבציוני במהותו) הוא לא ההסבר היחיד. הסבר נוסף הוא שעצם הנוכחות של אדם אחר מאחוריך מאפשרת לך - ברמה הפיזיולוגית ממש! - ללכת מהר יותר.

לפי תיאוריית ה-Social Facilitation של רוברט זיינס, עצם הנוכחות של אחרים סביבנו מגבירה עוררות. התוצאה של הגברת העוררות היא הגדלת הסיכוי שהאדם יפעל בצורה הרגלית, ז"א יבצע תגובות דומיננטיות-אוטומטיות. לכך יש השפעה מורכבת: במטלות פשוטות, התגובה ההרגלית היא לרוב התגובה הנכונה - ואז יהיה שיפור בביצוע; במטלות קשות, התגובה ההרגלית היא לרוב התגובה הלא הנכונה - ואז תהיה הרעה בביצוע. לדוגמא: שחקן סקווש מנוסה ישחק טוב יותר בנוכחות קהל, בעוד שחקן סקווש מתחיל ישחק גרוע יותר (כדוגמא קיצונית, תחשבו על ההשפעה של "משחק בלי קהל" על איכות המשחק של שחקני כדורגל מקצוענים). במקרה של טראק, ברור שהליכה היא תגובה אוטומטית ודומיננטית, ולכן קצב ההליכה יגבר עם רמת העוררות.

לא חסרים ניסויים שמאששים את התיאוריה, ואחד המעניינים יותר מביניהם אפילו לא עוסק בבני אדם. זיינס עצמו הראה ב-1969 שהתיאוריה פועלת גם עבור ג'וקים: הניסוי שלו כלל ג'וק באחד משני סוגי מבוכים (מבוך קל, שבו הג'וק היה צריך ללכת בקו ישר בלבד; מבוך קשה, שבו הג'וק היה צריך לבצע פניה אחת) ותיבת צפיה שקופה שבה היו ג'וקים אחרים. לפי התיאוריה, נוכחות הצופים תגרום לג'וק לפתור את המבוך הקל מהר יותר לעומת מצב שבו אין צופים, אבל לפתור את המבוך הקשה לאט יותר לעומת מצב שבו אין צופים - ואכן כך היה.

גירסאות עדכניות ונכונות יותר של התיאוריה זונחות את העיסוק בנוכחות בני אדם אחרים כשלעצמה, ומתמקדות ביכולת של אחרים לקלוט ולהעריך את מה שאתה עושה. למשל, הטענה היא שרמת העוררות שלך לא תגדל אם אתה נמצא בנוכחות אנשים שעיניהם ואוזניהם מכוסות.

ובחזרה לסדר ההליכה בטראק. בסדר ההליכה הטבעי, האדם האיטי ביותר הולך אחרון. במקרה זה, שני ההסברים שציינתי לא באים לידי ביטוי במלוא עוצמתם (הוא לא מעכב איש באופן ישיר, ושאר ההולכים מפנים אליו את הגב ולכן אינם קולטים אותו ואינם גורמים לו לעוררות מוגברת). זה כמובן לא המצב בסדר ההליכה ההפוך. במקרה זה, האדם האיטי מפריע למספר המקסימלי של אנשים, ובמקביל המספר המקסימלי של אנשים קולט אותו ומעריך אותו. לכן, ניתן לצפות שבמקרה זה קצב ההליכה שלו יגבר.

בקיצור, אני טוען שאם היינו כופים על ארז ללכת ראשון תמיד, היינו מגיעים מהר יותר ליעד בכל יום. מצד שני, תנסו אתם להסביר את זה למישהו בזמן טראק…

שש בש
אחרי ארבעה ימי הליכה הגענו לכפר קטן בשם ברהל, שם נחנו במשך יומיים. חלק משמעותי מהזמן הוקדש למשחק המקומי - שש בש (או טבלא בתורכית).

אחרי רצף נצחונות ארוך במיוחד שלי (44:10, עם הכפלות) אלון התחיל להתלונן שאני מרמה בקוביות. אני, לעומת זאת, טענתי שהקוביות מוטות לטובת שש (למה זה שיפר דוקא את המשחק שלי? לא יודע - באופן כללי אני משתדל לשחק בהתאם להסתברויות הצפויות במשחק).

כדי לבדוק את הטענה, הטלתי את אחת הקוביות 36 פעמים וספרתי את מספר הפעמים שיצא שש. אם הקוביה הוגנת, ניתן לצפות שזה יקרה בערך 6 פעמים. בפועל, זה קרה 11 פעם. האם מדובר בהבדל מקרי, או שהקוביה באמת נוטה לשש? לפי הקירוב הנורמאלי להתפלגות הבינומית סטיית התקן של מספר השש'ים במדגם בגודל 36 (בהנחה שהקוביה אינה מוטית) היא שורש 5, ז"א בערך 2.25. אם כן, מספר השש'ים במדגם מתפלג בקירוב נורמאלית ורחוק מהצפוי ביותר מ-2 סטיות תקן, ולכן ההבדל מובהק ברמת בטחון של 95% - הקוביה אכן נוטה לטובת שש!

כדי לוודא שההטיה היא בקוביה ולא בזורק, ביקשתי מארז לחזור על הניסוי ולזרוק גם הוא את הקוביה 36 פעם. הפעם המספר שש יצא 10 פעמים, ז"א הבדל של בערך 4/2.25 = 1.75 סטיות תקן. שוב, הבדל מובהק ברמת בטחון של 95% (יותר מ-1.65 סטיות תקן).

מעניין לשים לב לנקודה טכנית נחמדה: באופן עקרוני ניתן לעשות את הניתוח הסטטיסטי שלמעלה בצורה מדויקת בעזרת התפלגות בינומית. כל זה טוב ויפה במעבדה, אבל בכפר נידח ללא מחשבון או מחשב (ולמעשה, ביום השני גם ללא חשמל), חישוב כזה היה אורך שעות. השימוש בקירוב הנורמאלי בשילוב עם בחירה חכמה של מספר הזריקות הפך את החישוב לפעולה חשבונית פשוטה שאורכת 10 שניות בראש (בהנחה שזוכרים את הנוסחא לסטיית התקן המקורבת, שהיא פשוטה למדי), תוך שמירה על רמת דיוק גבוהה מאוד.

לסיכום: סטטיסטיקה היא מדע הנאחס.

גשם
כל ההמלצות שקראתי לפני הטיול טענו שהזמן האחרון לטייל בקצק'ר הוא באמצע ספטמבר, כי אחרי זה מתחיל להיות שם קר מאוד. אנחנו התחלנו את הטראק בערך ב-8 לספטמבר, כך שאת העליה לפסגת הקצק'ר עשינו בדיוק ב-16. באותו יום בלילה, ממש רגע אחרי שהקמנו את האוהל ונכנסנו לתוכו, התחיל לרדת גשם שוטף.

אחד המשפטים שאני אוהב להגיד ברגעים קשים (ובטראק היו כמה כאלה) הוא "היה יכול להיות גרוע יותר - היה יכול לרדת גשם". הפעם יכולתי רק להגיד: "היה יכול להיות גרוע יותר…." [שתיקה].

ואז אלעד אמר משהו מפתיע - שבעצם זה טוב שיורד עכשיו גשם! והוא הסביר: באיזור של הקצק'ר יש בממוצע כמות משקעים שנתית מסויימת. לכן, אם לא יורד עכשיו גשם, צריך "להשלים יותר" גשם (בהמשך השנה) בשביל להגיע לממוצע, ובפרט יש סיכוי גבוה יותר שירד מחר גשם. המסקנה היא שהסיכוי שירד גשם מחר קטן יותר אם יורד עכשיו גשם מאשר אם לא.

זאת דוגמא קלאסית לכשל המהמר - הנטיה לייחס תלות לאירועים בלתי תלויים. כשל המהמר בא לידי ביטוי, לדוגמא, אצל אנשים שחושבים ש-10 זריקות קוביה בהן לא יצא המספר שש מגדילות את הסיכוי שיצא שש בזריקה הבאה (מפתיע כמה כאלה יש). אבל כיוון שזריקות קוביה אינן מושפעות מזריקות קודמות (לפחות בתיאוריה), הסיכוי אמור להשאר קבוע - 1/6 בדיוק.

מעניין לשים לב שההסבר של אלעד היה תקף אם, למשל, היה ידוע שכמות המשקעים השנתית בקצ'קר היא קבועה, כי במקרה כזה לא ניתן לטעון שכמות הגשם מחר אינה תלויה בכמות הגשם היום (למשל אם אנחנו ביום הלפני-אחרון של השנה, והרגע הגענו לכמות המשקעים הידועה - מחר בודאות לא ירד גשם). הטעות של אלעד נבעה כנראה מהסתכלות על הממוצע השנתי כמעין חסם עליון, מה שכמובן אינו נכון.

מה שאני אוהב במיוחד בכשל המהמר, הוא שלא רק שהוא לא צודק - הוא אפילו טועה: במקרים רבים באמת מתקיים קשר בין אירועים שהם לכאורה בלתי תלויים, אבל הקשר הזה הוא בדיוק הפוך מזה שהמהמר חושב עליו. הנה דוגמא מהחיים שממחישה את זה:

רובם המוחלט של המבחנים בחוג לפסיכולוגיה (בתואר ראשון בתל אביב, לפחות) הם אמריקאיים. נניח שאתה עונה על מבחן כזה, ונאלץ להמר בשאלה מסויימת. מה תבחר - א', ב', ג' או ד'? מתברר שלא מעט סטודנטים לפסיכולוגיה סופרים את מיקומי התשובות הנכונות שכבר סימנו, ומסמנים את המיקום שהופיע הכי מעט פעמים. ההגיון כאן זהה בדיוק לזה שעומד מאחורי טיעון הגשם של אלעד - אם התשובה הנכונה בכל שאלה ממוקמת באקראי ע"י מחבר השאלון, במבחן כולו יהיה מספר שווה, בערך, של תשובות נכונות שהן א', ב', ג' או ד'. לכן, לכאורה, בהעדר מידע נוסף כדאי להמר על משהו שמקרב אותנו לאיזון הזה. זאת כמובן שטות מוחלטת - אם מיקום התשובה הנכונה נבחר באקראי, מיקום התשובות הנכונות בשאלות האחרות במבחן אינו תורם כל מידע לגבי מיקום התשובה הנכונה בשאלה מסויימת כלשהי (כמובן, המצב שונה אם בשאלון מתבצע איזון פיקטיבי של התשובות).

בפועל, אסטרטגיה טובה יותר תהיה לבחור דוקא את התשובה שהופיעה עד כה הכי הרבה פעמים. הסיבה היא שמיקום התשובות הנכונות בכל שאלה לא נקבע באקראי ע"י מחשב, אלא נקבע ידנית ע"י המרצה. אם למרצה יש הטיה לטובת מיקומים מסויימים (למשל נטיה שהתשובה הנכונה תהיה ג'), סביר שהיא תבוא לידי ביטוי בשאלון כולו. במובן מסויים, אפשר לחשוב על השאלות שעליהן כבר ענינו כעל מדגם שבודק את התפלגות התשובות הנכונות במבחן המסויים הזה, ובאופן כללי במבחנים של המרצה המסויים הזה. למשל, אם הרבה מהתשובות הנכונות במדגם יצאו ג' - סביר להניח כי גם בשאלות שלא ענינו עליהן יש סיכוי גבוה יותר שהתשובה הנכונה היא ג' (זו בדיוק האסטרטגיה שלי במבחנים בפסיכולוגיה, ועד כה היא הוכיחה את עצמה כטובה למדי).

אם כן, סיכום זריז: מטילים קוביה 36 פעמים, ולא יוצא שש בכלל. מה הסיכוי שיצא שש בהטלה הבאה? מהמר יגיד שיותר מ-1/6 ("כדי להשלים"); חכם יגיד שבדיוק 1/6 ("אין קשר"); סטטיסטיקאי יגיד שפחות מ-1/6 ("הקוביה מוטה"). ראו גם את החלק על השש-בש מקודם.

ובחזרה לאוהל. אחרי כמה דקות בהן הסברתי לאלעד על כשל המהמר, הוא השתכנע שהסיכוי לגשם מחר לא קטן בעקבות הגשם שיורד ברגע זה (ואם כבר רק גדל), ורק שאל איך קוראים לכשל המהמר במתמטיקה. התשובה הטובה ביותר שהצלחתי למצוא היא שכשל המהמר פשוט לא קיים במתמטיקה - כשמנסחים שאלה בהסתברות מצוין בדר"כ במפורש האם המאורעות תלויים או לא, ולכן כשל המהמר יקרא פשוט "טעות".

והשורה התחתונה? כשקמנו מצאנו את האוהל תחת 20 ס"מ שלג שהצטברו במהלך הלילה. גשם לא ירד למחרת, בהמשך הטראק או בהמשך הטיול.

המלצת קריאה
אחרי הטראק המשכנו לשבוע של של בטן-גב בבודרום, ורוב מה שעשיתי שם (לפחות בשעות היום) היה לקיים הבטחה ישנה למאיה, ולקרוא את Cryptonomicon של Neal Stephenson. הספר הזה פשוט מעולה בצורה יוצאת דופן. אני לא אספר שום דבר על העלילה, רק אומר שאלן טיורינג הוא אחת הדמויות ושכבר בעמוד 11 מופיעה הנוסחא של פונקציית זטא של רימן. אם זה לא מספיק, ברוס שנייר כתב אלגוריתם הצפנה במיוחד עבור הספר (ספוילר), ואיאן גולדברג מימש אותו ב-Perl. בקיצור, מומלץ ביותר.