מעבר לאינסוף
חמישי, 29 במרץ 2007שלשום התפרסם ש-Yahoo Mail תציע החל מהחודש הבא תיבות דואר אינסופיות בחינם (כרגע שטח האיחסון של Yahoo עומד עדיין על 2Gb, למול 2.75Gb של GMail ו-1Gb של Hotmail).
נניח לרגע שב-Yahoo באמת מתכוונים לשטח איחסון אינסופי, ולא סתם לשטח איחסון גדול מאוד. השאלה היא מה זה אומר בכלל? מה המשמעות של משהו "אינסופי"?
באנליזה ממשית (חדו"א) לאינסוף יש משמעות רק כחלק מביטוי גבול. פורמאלית, אומרים שגבול של סדרה הוא אינסופי (סימון: ∞) אם לכל מספר נתון אפשר למצוא איבר בסדרה כך שממנו והלאה כל האיברים בסדרה גדולים מהמספר הנתון. לדוגמא: סדרת המספרים שהאיבר ה-N שלה מוגדר ע"י 2N-1,000,000 היא כזו, ולמשל עבור המספר 74,000 אפשר לבחור את האיבר ה-1,000,000 בסדרה (קצת בזבני, אבל עובד).
אינטואיציה למשמעות ההגדרה אפשר למצוא אצל דיוויד לודג'. ב-The Picturegoers הוא כותב כך: "חשבו על כדור ברזל בגודל כדור הארץ, וזבוב שנוגע בו פעם במליון שנה. כשהכדור יתפורר כולו מהחיכוך, האינסוף אפילו לא התחיל".
במובן הזה, המשמעות של תיבת דואר אינסופית היא שהיא יכולה להכיל כמות מידע גדולה כרצונכם. רוצים לשמור את ספריית הקונגרס האמריקאי כ-attachment? אין שום בעיה. שטח האיחסון הרי גדול מ-20Tb. רוצים לשמור יותר מיילים ממספר החלקיקים ביקום? Yahoo אפילו לא ימצמצו. מספר החלקיקים מוערך בכ-80^10 (1 ואחריו 80 אפסים), וכמובן שהתיבה גדולה גם ממנו.
נראה, אם כן, שתיבת דואר אינסופית מספקת את כל צרכי האיחסון שיכולים להיות לנו. האמנם?
לא בהכרח. נניח שאני רוצה לפתוח שירות מתחרה ל-Yahoo Mail, ובדומה להם להציע תיבות דואר אינסופיות. כיוון שנפח הדיסק שלי מוגבל, אני מרמה: אני פותח תיבת דואר אישית (יחידה!) ב-Yahoo, ובכל פעם שמשתמש מקבל או שולח מייל בשירות שלי - אני בעצם שומר אותו בתיבה שפתחתי.
האם זה יעבוד? במילים אחרות, האם תיבה אינסופית אחת של Yahoo יכולה להכיל שתי תיבות אינסופיות אחרות? עשרים תיבות אינסופיות? אינסוף תיבות אינסופיות?
השאלה הזו דורשת מאיתנו לעשות משהו שהוא לכאורה בלתי אפשרי - להשוות בין אינסוף אחד לאינסוף אחר. זה כאילו נשאל מה יש יותר - מספרים שלמים, או מספרים שלמים זוגיים. על פניו נראה שיש יותר מספרים שלמים (כי הם כוללים בתוכם את הזוגיים, ובנוסף גם את האי-זוגיים), אבל למעשה שני הביטויים שווים לאינסוף! האם ∞ > ∞ ?
כדי לענות על השאלה, מתמטיקאים נדרשו למצוא הגדרה טובה יותר למושג אינסוף (ולמעשה גם למושג "קטן מ"). התוצאה היתה הגדרת המושג "עוצמה" כחלק מתורת הקבוצות - אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על עוצמה של קבוצה כמדד למספר האיברים בה.
חמוש בהגדרות החדשות, המתמטיקאי הגרמני גיאורג קנטור הוכיח שעוצמת קבוצת המספרים הזוגיים שווה לעוצמת קבוצת המספרים השלמים (וגם לעוצמת המספרים הטבעיים, הרציונליים והאלגבריים). לעוצמה הזו, שהיא כמובן אינסופית, הוא קרא א'-אפס (הסימון המקובל בעולם משתמש באות העברית א). כדי להבין את רעיון ההוכחה (ועוצמות באופן כללי) מומלץ לקרוא את סיפור המלון של הילברט.
האם כל העוצמות האינסופיות שוות זו לזו? באופן מפתיע, מתברר שלא. קנטור הוכיח שעוצמת המספרים הממשיים (שמסומנת פשוט: א') גדולה יותר מא'-אפס. אינטואיטיבית, המשמעות היא שיש יותר מספרים בין 0 ל-1, מאשר מספרים שלמים. קנטור גם הוכיח שקבוצת כל העוצמות היא בעצמה קבוצה אינסופית. במילים אחרות: לא רק שיש יותר מסוג אחד של אינסוף, מספר הסוגים הזה הוא בעצמו אינסופי. יותר מזה - אין אינסוף שגדול מכולם, ולכל אינסוף ניתן למצוא אינסוף אחר שממש גדול ממנו.
ובחזרה לתיבות הדואר. האם התיבה האינסופית של Yahoo היא השלב האחרון בתחרות בין ספקיות הדואר, ול-GMail נשאר רק להציע תיבת "אינסוף + 1Gb", כמו שמישהו הציע בצחוק? התשובה היא לא מוחלט. אפילו אם Yahoo אכן יציעו תיבה עם שטח איחסון אינסופי, יתכן שהיא לא תוכל להכיל מייל עבור כל מספר בין 0 ל-1. ואפילו אם כן, GMail עדיין יוכלו להציע תיבה אינסופית גדולה יותר. וכך עד אינסוף.
והערה לסיום: אחת השאלות התיאורטיות המעניינות במתמטיקה של האינסוף, היתה האם קיימת עוצמה אינסופית שגדולה ממש מא'-אפס וקטנה ממש מ-א'. קנטור טען שלא קיימת עוצמה כזו ("השערת הרצף"). מתברר שהתשובה מורכבת יותר מכן או לא, ולמעשה התשובה היא שאי אפשר לדעת. ב-1963 השלים פול כהן הוכחה שהתחיל קורט גדל ב-1940, והראה שהבעיה אינה כריעה, ז"א שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את נכונותה או לשלול אותה. הכוונה היא לא שההוכחה קשה במיוחד, אלא שהוכחה כזו אינה קיימת (במובן של משפט אי השלמות של גדל). פול כהן נפטר בשבוע שעבר, בגיל 72.
