טמפרטורה, גשם ורציפות
הקור המקפיא של הימים האחרונים הזכיר לי אנקדוטה נחמדה מאחד מתרגילי הבית המוקדמים בחדו"א 3: מתברר שבכל רגע נתון, קיימות על פני כדור הארץ שתי נקודות מנוגדות בהן הטמפרטורה זהה בדיוק (הכוונה בנקודות מנוגדות היא לנקודות שאם נחבר אותן בקו ישר הוא יעבור בדיוק דרך מרכז כדור הארץ, למשל הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי).
ההוכחה לכך פשוטה יחסית, אבל דורשת היכרות עם מספר מושגים בחדו"א. ארבע הפסקאות הבאות, אם כן, הן "למטיבי לכת" בלבד :)
ראשית, מראים שפני כדור הארץ הם קבוצה קשירה מסילתית, ז"א שניתן לחבר כל שתי נקודות עליהם ע"י מסילה שנמצאת כולה על פני הכדור. לדוגמא, את תל אביב וחיפה ניתן לחבר בעזרת כביש החוף. את תל אביב וקפריסין ניתן לחבר בעזרת מסלול כלשהו שעובר בים (אבל עדיין נמצא כולו על פני כדור הארץ). מטעמי פשטות, אתייחס בהמשך לפני כדור הארץ כאל ספירת היחידה, ז"א כאל מעטפת של כדור מושלם.
בשלב השני, מניחים קיום של פונקציית טמפרטורה רציפה, שמתאימה לכל נקודה במרחב התלת ממדי את הטמפרטורה המדויקת שבה (נסמן אותה ב-F). כשאומרים שהפונקציה רציפה, מתכוונים לכך שלא קיימות שתי נקודות "צמודות" שהטמפ' בהן שונה מאוד. בחיי היום-יום ניתן למצוא דוגמאות שבהן ההנחה הזו לכאורה לא מתקיימת: למשל, כשאני מכין חביתה, הטמפ' של האש בכיריים גבוהה מאוד, אבל במרחק של ארבעה סנטימטר הצידה זה כמעט לא מורגש. למרות זאת, אם נתקרב לאש הטמפ' תעלה בצורה הדרגתית (אם כי מהירה יחסית), ובשום שלב לא תהיה "קפיצה" פתאומית.
בשלב השלישי, מגדירים פונקציה חדשה שמתאימה לכל נקודה על ספירת היחידה את ההפרש בין הטמפ' בה לבין הטמפ' בנקודה המנוגדת לה. פורמאלית, מסמניםG(x) = F(x) - F(-x)1, ומתכונות בסיסיות של פונקציות רציפות גם G רציפה. הטענה המקורית שקולה לכך ש-G מתאפסת בנקודה כלשהי.
כעת, ניתן להוכיח את הטענה: מסתכלים על הערך של G בקוטב הצפוני. אם G מתאפסת שם, סיימנו (כי המשמעות היא שבקטבים יש טמפ' זהה). אחרת - G מקבלת ערך חיובי באחד הקטבים, ולכן בהכרח מקבלת ערך שלילי בקוטב השני. בוחרים מסילה כלשהי שמחברת את הקטבים (קיימת מסילה כזו לפי השלב הראשון), ולפי משפט ערך הביניים, איפשהו על המסילה G מתאפסת. הנקודה הזו מקיימת את הטענה, ז"א הטמפ' בה זהה לזו של הנק' הנגדית לה.
באופן מפתיע, אולי, הטענה הזאת לא מתקיימת כשמדובר בגשם במקום בטמפרטורה. ז"א, לא בהכרח קיימות שתי נקודות מנוגדות בהן יורד גשם, או שתי נקודות מנוגדות בהן לא יורד גשם. לדוגמא, בתיאוריה יתכן שכל חצי הכדור הצפוני גשום, וכל חצי הכדור הדרומי לא גשום (עם עוד משחק מסויים לגבי קו המשווה עצמו). הסיבה לשוני היא שפונקציית הגשם - בניגוד לפונקציית הטמפ' - היא לאו דוקא רציפה: יכולות להיות שתי נקודות צמודות שבאחת מהן יורד גשם, ובשניה לא (בקצה של ענן, או אפילו מתחת לגשר או מטוס).
הנה המחשה ויזואלית (דו ממדית) של הנקודה-
בשרטוט השמאלי, ההילה האפורה מסמלת את הנקודות הגשומות. כפי שניתן לראות, לא קיימות שתי נקודות מנוגדות זהות - אם נקודה מסויימת גשומה, הנקודה המנוגדת לה אינה גשומה.
בשרטוט הימני, ההילה האפורה מסמלת את גובה הטמפ' בכל נקודה. אם מציירים את ההילה כך שלא יהיו בה "קפיצות" (כמו אלה שבשרטוט השמאלי), בהכרח יהיו שתי נקודות מנוגדות בהן גובה ההילה זהה בדיוק.
נקודה למחשבה: בהינתן שרטוט כמו זה שמימין, איך תכל'ס מוצאים את הנקודות הנ"ל?
שבת, 30 בדצמבר 2006 בשעה 23:04
את הבעיה הנ"ל ניתן להמחיש בעזרת בעיה מקדימה ויותר אינטואטיבית. מדובר על נזיר אשר יצא מביתו בשמונה בבוקר והלך בדרך למנזר, לשם הגיע בשמונה בערב. יום למחרת קם במנזר ויצא ממנו בשמונה בבוקר והגיע הביתה בדיוק בשמונה בערב. הנזיר הלך באותה דרך, אבל לא ידוע שום דבר על המהירות, אולי עצר לנוח, אולי רץ מעט. האם קיימת נקודה בה הוא היה בדיוק באותו זמן בשני הימים?
את התשובה אפשר להסביר עם ערך הביניים או בצורה אינטואטיבית: אם היו שני נזירים שיצאו בו זמנית בשמונה בבוקר, אז הם היו נפגשים מתישהו ולוחצים ידיים, כלומר אותו מקום באותה שעה. את האנלוגיה כלפי הטמפרטורה ניתן לעשות בפשטות יחסית.
ראשון, 31 בדצמבר 2006 בשעה 18:27
יש משפט נחמד מטופולוגיה (Borsuk-Ulam) שהוא הרחבה של זה. הוא אומר, למשל, שבכל רגע יש שתי נקודות מנוגדות על כדה"א בהן גם הטמפרטורה וגם הלחץ שווים (ולא רק הטמפרטורה).
פורמלית, לכל העתקה רציפה f מהספירה הדו-מימדית למישור יש נקודה x כך ש-f שווה על x ועל הנגדית לה. בדוגמה הקודמת ציר x של המישור הוא נניח הטמפרטורה וציר y הוא הלחץ, ו-f מעתיקה כל נקודה על הכדור לזוג הערכים (טמפרטורה,לחץ) שלו.
קל לראות שכאן זה נעצר — כשמתאימים שלושה ערכים שונים לכל נקודה זה כבר לא נכון. למשל ניקח את השיכון הטבעי של הספירה הדו-מימדית במרחב התלת מימדי.
ראשון, 31 בדצמבר 2006 בשעה 20:06
עוד דוגמה מקבילה:
אם נקח שתי דפי נייר משובצים זהים, כשבכל משבצת רשום מספר (בשתי הדפים המספרים רשומים באותה המשבצת), את אחד הדפים נקמט ונניח על השני. בכל מצב בו יונח הדף תהיה לפחות ספרה אחת בדף המקומט שנמצאת מעל אותו המספר בדף החלק.
שלישי, 02 בינואר 2007 בשעה 13:52
צח:
מצטער, לא הבנתי :)
איך בדיוק אתה מגדיר "קימוט"?
לדוגמא, סיבוב של אחד הדפים ב-180 מעלות לא בהכרח יקיים את הטענה שלך. אולי אתה מתכוון לסדרת קיפולי נייר (למשל לפי אקסיומות הוזיטה-האטורי)?
חוץ מזה, לא ברור לי איך זה מתקשר לרציפות פונקציות. תוכל לפרט יותר?
רביעי, 03 בינואר 2007 בשעה 20:34
נייס :)
אפשר להוכיח גם לגבי פוטנציאל חשמלי ולבדוק השלכות על ברקים באותו הקשר…
לדעתי צח התכוון לניזול (Liquify) של הדף (בצורה של עוות תמונת המשבצות שעליו). בכל מקרה, הדוגמה שלו לא תופסת בהכרח לגבי משבצת שלמה, שכן לפי הרציפות מדובר בנקודה.
הגעתי לתגלית קצת יותר משמעותית: העיצוב החדש של הבלוג גרם לך לצייר בירוק ;)
חמישי, 04 בינואר 2007 בשעה 19:56
פ.ר.ש.:
יש באמת קשר בין העיצוב החדש לציור הירוק, אבל זה לא בדיוק שהראשון גרם לשני. למעשה, שניהם תוצאה של גורם שלישי - החלטה של הארט דירקטורית של הבלוג :)
Post hoc ergo propter hoc.
חמישי, 04 בינואר 2007 בשעה 23:34
ואני חשבתי שהפכת לירוק… ;)
בתגובה הקודמת התכוונתי לניזול תמונה (לא מצאתי דף מתאים בויקיפדיה)…
שני, 12 בפברואר 2007 בשעה 18:20
נכנעתי. חמישה דברים.
5 דברים? שלא ידעתם? עלי?
האמת, לא חשבתי שמישהו מתעניין, וגם לא עקבתי במיוחד אחרי כל הפוסטים האלה שנפוצו בבלוגוספירה כמו לחמניות אחרי הגשם, אב…
חמישי, 03 במאי 2007 בשעה 1:34
בהקשר דומה:
מאמר [2006] שמשתמש במשפט ערך הביניים כדי להוכיח שאם שולחן ריבועי עומד בצורה לא יציבה בתנאים סבירים (רצפה עקומה בפחות מ-14.4 מעלות), ניתן תמיד לייצב אותו בעזרת סיבוב של פחות מ-90 מעלות. ואפילו לא צריך לתקוע חתיכת קרטון מתחת לאחת הרגליים! :)
ראשון, 03 ביוני 2007 בשעה 23:09
צח:
עברו 5 חודשים, וסוף סוף הבנתי למה התכוונת :)
הטענה שלך היא תוצאה של משפט נק' השבת של בראואר עבור N=2: אם הדפים המשובצים מייצגים קורדינטות קרטזיות, אחרי הקימוט (שהוא, לכאורה, העתקה רציפה מריבוע היחידה לעצמו) אכן יהיו בהכרח שתי נקודות עם קורדינטות זהות שיונחו בדיוק אחת מעל השניה.
בכל מקרה, אם מתעקשים להתייחס למשבצות בתור משהו בדיד (כפי שאפשר היה להבין מהתגובה שלך), צריך להתייחס באופן ברור יותר לגבולות ("המסגרת") של כל משבצת. אחרת, למשל, אם יש שתי משבצות בכל דף - אפשר להפוך את אחד הדפים ולהניח אותו על הדף השני ולכאורה הטענה אינה מתקיימת.