דיסוננס קוגניטיבי

הקור המקפיא של הימים האחרונים הזכיר לי אנקדוטה נחמדה מאחד מתרגילי הבית המוקדמים בחדו"א 3: מתברר שבכל רגע נתון, קיימות על פני כדור הארץ שתי נקודות מנוגדות בהן הטמפרטורה זהה בדיוק (הכוונה בנקודות מנוגדות היא לנקודות שאם נחבר אותן בקו ישר הוא יעבור בדיוק דרך מרכז כדור הארץ, למשל הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי).

ההוכחה לכך פשוטה יחסית, אבל דורשת היכרות עם מספר מושגים בחדו"א. ארבע הפסקאות הבאות, אם כן, הן "למטיבי לכת" בלבד :)

ראשית, מראים שפני כדור הארץ הם קבוצה קשירה מסילתית, ז"א שניתן לחבר כל שתי נקודות עליהם ע"י מסילה שנמצאת כולה על פני הכדור. לדוגמא, את תל אביב וחיפה ניתן לחבר בעזרת כביש החוף. את תל אביב וקפריסין ניתן לחבר בעזרת מסלול כלשהו שעובר בים (אבל עדיין נמצא כולו על פני כדור הארץ). מטעמי פשטות, אתייחס בהמשך לפני כדור הארץ כאל ספירת היחידה, ז"א כאל מעטפת של כדור מושלם.

בשלב השני, מניחים קיום של פונקציית טמפרטורה רציפה, שמתאימה לכל נקודה במרחב התלת ממדי את הטמפרטורה המדויקת שבה (נסמן אותה ב-F). כשאומרים שהפונקציה רציפה, מתכוונים לכך שלא קיימות שתי נקודות "צמודות" שהטמפ' בהן שונה מאוד. בחיי היום-יום ניתן למצוא דוגמאות שבהן ההנחה הזו לכאורה לא מתקיימת: למשל, כשאני מכין חביתה, הטמפ' של האש בכיריים גבוהה מאוד, אבל במרחק של ארבעה סנטימטר הצידה זה כמעט לא מורגש. למרות זאת, אם נתקרב לאש הטמפ' תעלה בצורה הדרגתית (אם כי מהירה יחסית), ובשום שלב לא תהיה "קפיצה" פתאומית.

בשלב השלישי, מגדירים פונקציה חדשה שמתאימה לכל נקודה על ספירת היחידה את ההפרש בין הטמפ' בה לבין הטמפ' בנקודה המנוגדת לה. פורמאלית, מסמניםG(x) = F(x) - F(-x)1, ומתכונות בסיסיות של פונקציות רציפות גם G רציפה. הטענה המקורית שקולה לכך ש-G מתאפסת בנקודה כלשהי.

כעת, ניתן להוכיח את הטענה: מסתכלים על הערך של G בקוטב הצפוני. אם G מתאפסת שם, סיימנו (כי המשמעות היא שבקטבים יש טמפ' זהה). אחרת - G מקבלת ערך חיובי באחד הקטבים, ולכן בהכרח מקבלת ערך שלילי בקוטב השני. בוחרים מסילה כלשהי שמחברת את הקטבים (קיימת מסילה כזו לפי השלב הראשון), ולפי משפט ערך הביניים, איפשהו על המסילה G מתאפסת. הנקודה הזו מקיימת את הטענה, ז"א הטמפ' בה זהה לזו של הנק' הנגדית לה.

באופן מפתיע, אולי, הטענה הזאת לא מתקיימת כשמדובר בגשם במקום בטמפרטורה. ז"א, לא בהכרח קיימות שתי נקודות מנוגדות בהן יורד גשם, או שתי נקודות מנוגדות בהן לא יורד גשם. לדוגמא, בתיאוריה יתכן שכל חצי הכדור הצפוני גשום, וכל חצי הכדור הדרומי לא גשום (עם עוד משחק מסויים לגבי קו המשווה עצמו). הסיבה לשוני היא שפונקציית הגשם - בניגוד לפונקציית הטמפ' - היא לאו דוקא רציפה: יכולות להיות שתי נקודות צמודות שבאחת מהן יורד גשם, ובשניה לא (בקצה של ענן, או אפילו מתחת לגשר או מטוס).

הנה המחשה ויזואלית (דו ממדית) של הנקודה-

בשרטוט השמאלי, ההילה האפורה מסמלת את הנקודות הגשומות. כפי שניתן לראות, לא קיימות שתי נקודות מנוגדות זהות - אם נקודה מסויימת גשומה, הנקודה המנוגדת לה אינה גשומה.

בשרטוט הימני, ההילה האפורה מסמלת את גובה הטמפ' בכל נקודה. אם מציירים את ההילה כך שלא יהיו בה "קפיצות" (כמו אלה שבשרטוט השמאלי), בהכרח יהיו שתי נקודות מנוגדות בהן גובה ההילה זהה בדיוק.

נקודה למחשבה: בהינתן שרטוט כמו זה שמימין, איך תכל'ס מוצאים את הנקודות הנ"ל?

ביום שישי שעבר ישבתי עם חברים בבוקובסקי בתל אביב. מתישהו, קצת לפני שתיים וחצי בלילה, החלטנו לעזוב את המקום ולהמשיך הלאה. יצאנו לרחוב, ומיד נתקלנו במחזה מזעזע: באמצע הכביש היתה מכונית סיטרואן לבנה הפוכה לגמרי, ומסביבה התקהלות של אנשים נרגשים.
מתברר שרגע לפני כן, התרחשה במקום תאונה.

מה בדיוק קרה שם, אני לא יודע. את התאונה עצמה לא ראיתי, כך שהידע שלי מבוסס על שברי דברים של האנשים שהיו ברחוב.

נראה היה שמוסכם על כולם שנהג הסיטרואן נכנס לצומת באור אדום, וזיהה ברגע האחרון מכונית שהגיעה מהרחוב המצטלב. בשלב זה, הנהג שבר במהירות את ההגה ימינה, עלה על המדרכה והתהפך (המדרכה בחלק הזה של דיזנגוף היא מהמדרכות הגבוהות בצורת חצי-סהר, שמגוננות על אדנית פרחים). באופן מפתיע, המכונית ההפוכה נשארה במצב טוב יחסית, ללא הרס משמעותי נראה לעין - למעט העובדה שהיתה מונחת על הכביש כשגלגליה לכיוון מעלה. המכונית השניה יצאה ללא פגע.

עד שהגענו, נהג הסיטרואן - הנוסע היחיד באוטו - הספיק כבר לצאת מהמכונית. ניידת המשטרה והאמבולנס שהגיעו תוך דקות בודדות, כבר מצאו אותו יושב על שפת המדרכה עם מבט המום משהו. בסופו של דבר, התאונה הסתיימה ללא נפגעים.

ואז התחילה המנטרה. בהתחלה בלחישות בין חברים, ומהר מאוד בדיון גלוי בין כולם:
"איזה מזל! היה יכול להיות הרבה יותר גרוע…".

ההתייחסות למצב של תאונה ללא נפגעים כאל מזל, היא דוגמא קלאסית למה שמכונה בפסיכולוגיה counterfactual thinking - הנטיה שלנו להשוות את המצב הקיים במציאות למצב היפותטי, שהיה לכאורה מתקיים לו רק משהו מסויים בעבר היה שונה. טריויאלי? ממש לא. למעשה, זוהי תופעה פסיכולוגית מרתקת, עם השלכות מרחיקות לכת על חיי היום יום של כל אחד מאיתנו.

דוגמא מעניינת למשמעות העמוקה של התופעה ניתן למצוא במחקר של פרופ' תומס גילוביץ' מאוניברסיטת Cornell. גילוביץ' העלה את השאלה הבאה [1995]: מבין העומדים על פודיום המנצחים באולימפיאדה, מי שמח יותר - זוכי מדליית הארד, או זוכי מדליית הכסף?

כדי לענות על השאלה, החוקרים "גזרו" פרצופים של זוכי מדליות כסף וארד מתמונות פודיום של אולימפיאדת ברצלונה 1992 (בדומה לתמונות למעלה), וביקשו מאנשים לדרג את רמת השמחה שלהם. באופן מפתיע, התוצאות הראו שזוכי מדליות הארד (!) שמחים יותר באופן מובהק. במילים אחרות, המחקר מתאר סיטואציה שבה האנשים שמצבם האובייקטיבי טוב יותר - מרגישים רע יותר!

ההסבר הוא, כאמור, counterfactual thinking, כשהשוני ברמת השמחה מוסבר ע"י השוני במצב ההיפותטי שמולו מושווה המצב הנוכחי. זוכה מדליית הכסף עשוי לחשוב: "עוד טיפה מזל, והייתי זוכה במדליית הזהב!". לעומתו, זוכה מדליית הארד עשוי לחשוב: "קצת פחות מזל, ולא הייתי כאן בכלל!". התוצאה היא אכזבה של הראשון, לעומת שמחה של האחרון.

אבל מתי בכלל יתרחש counterfactual thinking, ומול איזה מצב היפותטי תתבצע ההשוואה? מחקרים שנערכו בעשורים האחרונים העלו מספר קריטריונים ששקלולם קובע את התשובה, וביניהם-

• קרבה - ככל שהמצב ההיפותטי נתפס כקרוב יותר למצב האמיתי (מבחינת סבירות), גדל הסיכוי שתתבצע ביניהם השוואה. דוגמא אמיתית: לפני שנה, אחד מחבריי ניחש 15 (מתוך 16) משחקים בטוטו, וזכה בכמה עשרות אלפי שקלים. קשה לתאר את עומק הדיכאון שהוא הפגין בערב בו נודע לו על הזכיה, בייחוד לאור העובדה שהפרס הראשון באותו שבוע (בו לא זכה איש!) עמד על כמה עשרות מליוני שקלים. אני זוכר אותו אומר לי ש"אם רק היה מסמן X במקום 1 על איזה משחק בליגה הארצית…".
• חוסר שגרתיות - במקרה בו המצב האמיתי נגרם בעקבות פעולה שאינה שגרתית (ז"א נגרם בעקבות פעולה יוצאת דופן), גדל הסיכוי שתתבצע השוואה מול מצב היפותטי בו הפעולה השגרתית היתה מתבצעת כרגיל. לדוגמא: אדם שרגיל לנסוע לעבודה דרך כביש מסויים נוסע באופן חד פעמי דרך כביש אחר, ומבצע תאונה. במקרה זה, סביר שתעלה בו מחשבה בסגנון "אם רק הייתי נוסע בכביש הרגיל…"
• שליטה - ככל שהאפשרות להשפיע על המצב האמיתי נתפסת (בדיעבד) כגדולה יותר, גדל הסיכוי שתתבצע השוואה מול מצב היפותטי כלשהו. למשל, בדוגמא האחרונה סביר יותר שנהג הרכב יבצע counterfactual thinking אם הוא מאמין שבחירת הכביש היתה שלו, לעומת אם הוא מאמין שנכפתה עליו ע"י גורם חיצוני (למשל אם הכביש הרגיל היה פקוק במיוחד).
• פעולה - בטווח הקצר, יש נטיה להתחרט יותר על פעולות שגרמו (בדיעבד) לבעיות, מאשר על חוסר-פעולה שגרמה לתוצאות דומות. בטווח הארוך, האפקט מתהפך.

הבנת ההשפעה של הגורמים הנ"ל שופכת אור על תופעות רבות, למשל - מדוע קורבנות אונס נוטות לעיתים קרובות להרגיש אשמה וחרטה, למרות שבבירור אירוע האונס לא קרה "בגללן".

לדוגמא, מחקר [2003] שבדק קורבנות אונס גילה שהן נטו יותר להרגיש אשמה (בדיעבד) במקרים בהם האונס התרחש בעקבות אירוע לא שגרתי (למשל יציאה לפאב שאינו הפאב הרגיל). מחקר אחר [1995] הראה שהקריטריונים למעלה משפיעים גם על מידת האשמה שאנשים חיצוניים מטילים על הנאנסת, ואפילו על העונש שהיו גוזרים על האנס. למשל, במידה ואירוע האונס התרחש לאחר פעולה לא שגרתית של הנאנסת, הנבדקים נטו לגזור עליו עונש קל יותר.

לקריאה נוספת: מאמר המסכם את המחקרים המרכזיים והתיאוריה הענפה בנושא [1997].